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1、公式篇 目录 一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.阶导数公式n 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率 四、定积分 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分 五、不定积分 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6. 函数(选) 六、定积
2、分的应用 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式 七、微分方程 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选) 一、函数与极限一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(0 时)x 3.两个重要极限 二、导数与微分二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.阶导数公式n 特别地,若n 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 函数的 0 阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近
3、似计算(很小时)x (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆) 三、微分中值定理与导数的应用三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 (在连续,可导 )(xf,ba),(ba 罗尔定理 ( 端点值相等 )()(bfaf 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (0 )0)( xg 2.高阶中值定理 (在上有直到阶导数 )(xf),(ba) 1( n 泰勒中值定理 为余项 n R ( 在和之间)x 0 x 令,得到麦克劳林公式0 0 x 3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项) 4.曲率 四、不定积分四、不定积分 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分
4、 五、定积分五、定积分 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 推广得 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 (1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式) (2)积分中值定理 函数在上可积)(xf,ba 称为在上的平均值)(f)(xf,ba 4.三角相关定积分 三角函数系的正交性 5.典型反常积分的敛散性 (1)无穷限的反常积分 推论 1 (2)瑕积分(无界函数的反常积分) 推论 2 Convergence:收敛,Divergence:发散 6. 函数(选) (1) 递推公式: 推论: (2)欧拉反射公式(余元公式) 六、定积分的应用六、定积分的应用 1.平面图形面积 (1)直角坐标:
5、由曲线及与轴围成图形0)(xfybxax ,x (2)极坐标: 有曲线及围成图形)(, 2.体积 (1)绕轴旋转体体积x (2)平行截面面积已知的立体的体积 平行截面(与轴垂直)面积为x)(xA 3.弧微分公式 (1)直角坐标: (2)极坐标: 七、微分方程七、微分方程 1.可降阶方程 (1)型)( )( xfy n 次积分得n (2)型) ,(yxfy 作换元得 yp ),(pxfp 得通解),( 1 Cxp 则 21) ,(CdxCxy (3)型) ,(yyfy 作换元, yp ),(,pyf dx dp p dx dp p dx dp y 得通解 dx dy Cyp),( 1 则 2 1
6、) ,( Cx Cy dy 2.变系数线性微分方程 (1)一阶线性微分方程:)()(xQyxPy 对应齐次方程: 的通解为0)(yxPy dxxP CeY )( 原方程的通解为)()(xQyxPy dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( 一阶线性非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解和非齐次方程一个特解的和 (2)高阶线性微分方程 )()()()( 1 )1( 1 )( xQyxPyxPyxPy nn nn 对应齐次方程为0)()()( 1 )1( 1 )( yxPyxPyxPy nn nn 若为齐次方程个线性无关解)(,),(),( 21 xyxyxy n n 则齐次方程的通解为
7、)()()()( 2211 xyCxyCxyCxY nn 若为非齐次方程的一个特解)(* xy 则非齐次方程的通解为)(*)(xyxYy 3.常系数齐次线性方程的通解 (1)二阶方程0qpyy 特征方程为0 2 qprr ,两个不等实根0 a b r a b r 2 , 2 21 通解为 xrxr eCeCy 21 21 ,两个相等实根0 2 21 p rr 通解为 xr exCCy 1 )( 21 ,一对共轭复根0 2 , 2 , 21 p irir 通解为)sincos( 21 xCxCey x (2)高阶方程0 1 )1( 1 )( ypypypy nn nn 特征方程为0 1 1 1
8、nn nn prprpr 对于其中的根的对应项r 实根r 一个单实根: rx Ce 一个重实根: k rxk k exCxCC)( 1 21 复根ir 2, 1 一对单复根:)sincos( 21 xCxCe x 一对重复根: ksin)(cos)( 1 21 1 21 xxDxDDxxCxCCe k k k k x 通解为对应项之和 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 ,对应的特征方程为)(xfqypyy0 2 qprr (1) 为的次多项式)()(xPexf m x )(xPmxm 特解形式为 x m k exQxy )(* )2( )( 1 )(0为特征重根为特征单根非特
9、征根k 是的次多项式)(xQmxm (2) 分别为的次多项式sin)(cos)()( )2()1( xxPxxPexf nl x )(),( )2()1( xPxP nl xnl, 特解形式为 x mm k exxRxxQxy sin)(cos)(* ,为的次多项式,max nlm )(),(xRxQ mm xm 记iz )( 1 )(0为特征复根非特征根zzk 5.特殊形式方程(选) (1)伯努利方程 () n yxQyxP dx dy )()(1 , 0n )()( 1 xQyxP dx dy y nn 令, n yz 1 dx dy yn dx dz n )1 ( )()1 ()()1 (xQnzxPn dx dz 得通解),(Cxz n Cxy 1 1 ),( (2)欧拉方程 )( 1 )1(1 1 )( xfypxypyxpyx nn nnnn 作变换或,记 t ex xtln dt d D ykDDDyx yDD dt dy dt yd dx yd xyx Dy dt dy dx dt dt dy x dx dy xxy kk ) 1() 1( ) 1( )( 2 2 2 2 22 将上各式代入原方程得到 )( 1 1 1 tfyaDyayDayD nn nn 此为常系数线性微分方程 可得通解),( 21n CCCty 即可得原方程通解),( 21n CCCxy
