【教育资料】第1章4简单计数问题学习精品

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1、教育资源 教育资源 4简单计数问题 1进一步理解计数原理和排列、组合的概念(重点) 2能够运用原理和公式解决简单的计数问题(难点) 基础 初探 教材整理简单计数问题 阅读教材 P18P21，完成下列问题 1计数问题的基本解法 (1)直接法：以_为考察对象，先满足_的要求，再考虑 _(又称元素分析法 ) 或以_为考察对象，先满足 _的要求， 再考虑 _(又称位置分析法 ) (2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求 的方法数 【答案】(1)元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置 2解决计数问题应遵循的原则 先_后一般，先_后排列，先_后分步，充分考虑元素 的特殊性，进

2、行合理的分类与分步 【答案】特殊组合分类 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放 入 A 盒，则不同放法总数是 () A120B72 C60D36 【解析】分两类：第一类， A 盒只有甲球，则余下4 个球放入 3 个不同的 盒子中，每个盒子至少一个球，此时4个球应分为 2,1,1 三组，有 C 2 4种，每一种 有 A 3 3种放法，共有 C 2 4A 3 3种放法；第二类， A 盒中有甲球和另 1 球，则有 A 4 4种排 法由分类加法计数原理，得共有放法总数C 2 4A 3 3A 4 460 种 【答案】C 质疑 手记 教育资源 教育资源 预习完成后，请将

3、你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 排列问题 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人 值班 1 天若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排 在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有() A504 种B960种 C1 008种D1 108种 【精彩点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工 【自主解答】(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4 种选择，共有安排 方案 A 2 2C 1 4A 4 4192种； (2)若甲、乙安排在最后两天，则

4、丙有4 种选择，共有 A 2 2C 1 4A 4 4192 种； (3)若甲、乙安排在中间5 天，选择两天有 4 种可能， 若丙安排在 10 月 7 日，丁有 4 种安排法，共有 4A 2 2C 1 4A 3 3192 种； 若丙安排在中间 5 天的其他 3 天，则丁有 3 种安排法， 共有 4A 2 2C 1 3C 1 3A 3 3 432 种 所以共有 1921921924321 008种 【答案】C 1本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁不在 特殊位置 )进行讨论 教育资源 教育资源 2较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法 再练一题 1由 1,2,3,

5、4,5,6组成没有重复数字， 且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数 是() 【导学号： 62690018】 A72B96 C108D144 【解析】第一步将 2,4,6 全排，有 A 3 3种；第二步分 1,3相邻且不与 5 相邻， 有 A 2 2A 2 3种；1,3,5均不相邻，有 A 3 3种故总的排法为 A 3 3(A 2 2A 2 3A 3 3)108 种，故 选 C. 【答案】C 组合问题 某班有 54 位同学，其中正、副班长各1 名，现选派 6 名同学参加某 科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算 ) (1)正、副班长必须入选； (2)正、副班长

6、只有1 人入选； (3)正、副班长都不入选； (4)正、副班长至多有1 人入选； (5)班长以外的某 3 人不入选； (6)班长有 1 人入选，班长以外的某2 人不入选 【精彩点拨】这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素， 然后考 虑一般元素 【自主解答】(1)先选正、副班长，再从剩下的52 人中选 4 人由分步乘 法计数原理，得 C 2 2 C 4 52种 (2)先从正、副班长中选1 人，再从剩下的 52 人中选 5 人由分步乘法计数 原理，得 C 1 2 C 5 52种 (3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52 人中选 6 人，共 C 0 2 C 6 52种，即 教育资源 教育资

7、源 C 6 52种 (4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有C 1 2 C 5 52C 0 2 C 6 52种，或 C 6 54C 2 2 C 4 52种 (5)某 3 人可除外，故共有C 0 3 C 6 51种，即 C 6 51种 (6)C 1 2 C 0 2 C 5 50种，即 C 1 2 C 5 50种 解答组合应用题的总体思路 1整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的 并集等于全集， 以保证分类的不遗漏， 任意两类的交集等于空集， 以保证分类的 不重复，计算结果时使用加法原理 2局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连 续，以保证

8、分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类 的相应结果时，使用乘法原理 再练一题 2将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那 么互不相同的分配方案共有() A252 种B112种 C20 种D56 种 【解析】不同的分配方案共有C2 7C 5 5C 3 7C 4 4C 4 7C 3 3C 5 7C 2 2112(种) 【答案】B 探究共研型 排列、 组合的综合应用 探究 1从集合 1,2,3,4 中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？ 完成的“这件事”指的是什么？ 【提示】共有 C 2 443 2 6(个)不同结果 教育资源 教育资源 完成的

9、“这件事 ”是指：从集合 1,2,3,4 中任取两个不同元素并相乘 探究 2从集合 1,2,3,4 中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这 是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？ 【提示】共有 A 2 4210(个)不同结果这个问题属于排列问题完成的 “这件事 ”是指：从集合 1,2,3,4 中任取两个不同元素并相除 探究 3完成“从集合 0,1,2,3,4 中任取三个不同元素组成一个是偶数的三 位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？ 【提示】由于 0 不能排在百位， 而个位必须是偶数 .0 是否排在个位影响百 位与十位的排法，所以完成这件事需按0 是否在

10、个位分类进行第一类：0 在个 位，则百位与十位共A 2 4种排法；第二类： 0 不在个位且不在百位，则需先从2,4 中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一 个排十位，共 C 1 2C 1 3C 1 318(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事 ”共 有 A 2 4C 1 2C 1 3C 1 330(种)不同的结果 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出5 人担任 5 门不同学科的课代表， 求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任

11、语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学 课代表 【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取(2)采用先选后排的方 法(3)先安排该男生，再选出其他人担任4 科课代表 (4)先安排语文课代表的 女生，再安排 “某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表 【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男， 共有 C 3 5C 2 3C 4 5C 1 3种，后排有 A 5 5种， 教育资源 教育资源 共(C 3 5C23C45C13) A 5 55 400种 (2)除去该女生后，先选后排，有C 4 7 A 4 4840 种 (3)先选后排，但先安排该男

12、生，有C 4 7 C 1 4 A 4 43 360 种 (4)先从除去该男生、 该女生的 6 人中选 3 人有 C 3 6种，再安排该男生有 C 1 3种， 其余 3 人全排有 A 3 3种，共 C 3 6 C 1 3 A 3 3360 种 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1按事情发生的过程进行分步 2按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或 组合数 再练一题 3某外商计划在四个候选

13、城市投资3 个不同的项目，且在同一个城市投资 的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案共有() A16 种B36 种 C42 种D60 种 【解析】若选择了两个城市，则有C2 4C 2 3A 2 236 种投资方案；若选择了三 个城市，则有 C 3 4A 3 324 种投资方案，因此共有362460 种投资方案 【答案】D 构建 体系 1某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派4 人参加某次社区服务，如果要 求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为() A14B24 C28 D48 教育资源 教育资源 【解析】(间接法 )：6人中选派 4 人的组合数为 C46，其中都选男生的组合

14、数为 C 4 4.所以至少有 1 名女生的选派方案有C 4 6C 4 414(种) 【答案】A 2在 1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字 之和为 9 的三位数共有 () A6 个B9 个 C12 个D18 个 【解析】由题意知，所求三位数只能是1,3,5 或 2,3,4 的排列，共有 A 3 3 A 3 312(个) 【答案】C 36 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用 数字作答 ). 【导学号： 62690019】 【解析】6 个人排成一行， 其中甲、乙两人不相邻的不同排法： 排列好甲、 乙两人外的 4 人，有 A 4 4种方法，然后

15、把甲、乙两人插入4 个人的 5 个空位，有 A 2 5种方法，所以共有： A 4 4 A 2 5480. 【答案】480 4将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的 分配方案有 _种(用数字作答 ) 【解析】有 C1 3 C 2 4 A 2 236 种满足题意的分配方案其中C 1 3表示从 3 个乡 镇中任选定 1 个乡镇，且其中某 2 名大学生去的方法数； C 2 4表示从 4 名大学生中 任选 2 名到上一步选定的乡镇的方法数；A 2 2表示将剩下的 2 名大学生分配到另2 个乡镇去的方法数 【答案】36 5车间有 11 名工人，其中 5 名是钳工， 4 名是

16、车工，另外两名老师傅既能 教育资源 教育资源 当车工又能当钳工，现在要在这11 名工人里选派 4 名钳工， 4 名车工修理一台 机床，问有多少种选派方法 【解】法一：设 A，B 代表两名老师傅 A，B 都不在内的选派方法有：C 4 5 C 4 45(种)； A，B 都在内且当钳工的选派方法有： C 2 2 C 2 5 C 4 410(种)； A，B 都在内且当车工的选派方法有： C 2 2 C 4 5 C 2 430(种)； A，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有： C 2 2 A 2 2 C 3 5 C 3 480(种)； A，B 有一人在内且当钳工的选派方法有： C 1 2 C 3 5 C 4 420(种)； A，B 有一人在内且当车工的选派方法有： C 1 2 C 4 5 C 3 440(种) 所以共有C 4 5 C 4 4C 2 2 C 2