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1、 1-11 试证：若满足Fourier积分定理中的条件，则有 其中分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier积分的复数形式，有 由于所以2求下列函数的Fourier积分：1）; 2) 3) 分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为(偶函数)f(t)的Fourier积分为 2)所给函数为连续函数，其Fourier变换为（实部为偶函数，虚数为奇函数）f (t)的Fourier变换为这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1
2、且f(-t)= - f(t)是奇函数，其Fourier变换为（奇函数）f(t)的Fourier积分为其中t-1，0，1（在间断点处，右边f(t)应以代替）.3求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：1）证明：2）证明：3），证明：证明：1）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为再由Fourier变换得 即 2）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为 再由Fourier变换公式得 即 3）给出的函数为奇函数，其Fourier变换为 故4.求函数的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式. 解：根据Fourier正弦积分公式，并用分部积分法，有根据Fourie
3、r余弦积分公式，用分部积分法，有1-21求矩形脉冲函数的Fourier变换.解： 2.设是函数的Fourier变换，证明与有相同的奇偶性. 证明：与是一个Fourier变换对，即 ，如果为奇函数，即，则 （令）（换积分变量为）所以亦为奇函数.如果为奇函数，即，则（令）（换积分变量为）所以亦为奇函数.同理可证与同为偶函数.4求函数的Fourier正弦变换，并推证解：由Fourier正弦变换公式，有由Fourier正弦逆变换公式，有由此，当时，可得5设，试证明：1）为实值函数的充要条件是；2）为虚值函数的充要条件是.证明： 在一般情况下，记其中和均为的实值函数，且分别为的实部与虚部. 因此其中，
4、1）若为的实值函数，即.此时，式和式分别为所以反之，若已知，则有此即表明的实部是关于的偶函数；的虚部是关于的奇函数.因此，必定有亦即表明为的实值函数.从而结论1）获证.2）若为的虚值函数，即.此时，式和式分别为所以反之，若已知，则有此即表明的实部是关于的奇函数；的虚部是关于的偶函数.因此，必定有，亦即表明为的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier变换，求该函数.解：为连续的偶函数，由公式有 但由于当时当时 当时，所以得 7已知某函数的Fourier变换为，求该函数. 解：由函数，易知 8求符号函数（又称正负号函数）的Fourier变换. 解：容易看出，而9求函数的Fouri
5、er变换.解 ：.10 .求函数的Fourier变换.解: 已知由有11.求函数的Fourier变换.解:已知,由即得12.求函数的Fourier变换.解: 由于故.14.证明：若，其中为一实数，则 其中为的共轭函数.证明：因为 同理可证另一等式.17求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）. 解 ：131若是常数，证明（线性性质）：分析：根据Fourier变换的定义很容易证明.证明：根据Fourier变换与逆变换的公式分别有6若，证明（翻转性质）：分析：根据Fourier变换的定义，再进行变量代换即可证明.证明：（令）（换为）9设函数，利用对称性质，证明：证明：由对称性质：，则有12利用
6、能量积分，求下列积分的值：1）； 2）；3）；4）.解：1）（令）2）3），其中从而4）141.证明下列各式：2） ；6）10)分析：根据卷积的定义证明.证明： 2) 6）,.10) .2若，求.注意：不能随意调换和的位置.解：由，所以 要确定的区间，采用解不等式组的方法.因为.即必须满足 , 即, 因此（分部积分法）4 .若，证明:证明: 5.求下列函数的Fourier变换：1）；2）；5）；解: 1）已知,又.由位移性质有.2）由Fourier变换的定义，有5）利用位移性质及的Fourier变换，有再由象函数的位移性质，有7已知某信号的相关函数，求它的能量谱密度，其中.解 由定义知9求函数
7、的能量谱密度.解: 因为,当时，的区间为，所以当时，的区间为，所以因此，现在可以求得的能量谱密度，即151求微分方程的解.分析：求解微分、积分方程的步骤：1）对微分、积分方程取Fourier变换得象函数的代数方程；2）解代数方程得象函数；3）取Fourier逆变换得象原函数（方程的解）. 解：设对方程两边取Fourier变换，得 即 其逆变换为4求解下列积分方程：1）2）. 解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数与的卷积，即.设对方程两边取Fourier变换，有即 易知：，有即所以由上可知， .2）设对方程两边取Fourier变换，同理可得利用钟形脉冲函数的Fou
8、rier变换及由Fourier变换的定义可求得：，从而即从而，其中，记，则，上式中第二项可利用微分性质，则因此.5.求下列微分方程的解：其中为已知函数，均为已知常数.解：设对方程两边取Fourier变换，可得即从而211求下列函数的Laplace变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证结果.1).分析：用Laplace变换的定义解题. 解： .2).解：.3).解： .4).解： .7).解 ：.2求下列函数的Laplace变换：1)解： 2)解： 3) 解：.4)解： .221求下列函数的Laplace变换式：1）. 解:由.2).解 ：.3).解：5）.解: 由微分性质有:6) 解:已知
9、,则 8).解: 由及位移性质有.3若，证明（象函数的微分性质）:特别地，或，并利用此结论计算下列各式：1），求.解：,2)，求.解：,3)，求.解:故 .4若，证明（象函数的积分性质）:，或并利用此结论计算下列各式：1)，求. 解: ,2)，求.解:,231设均满足Laplace变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为），且，则乘积的Laplace变换一定存在，且其中证明： 已知均满足Laplace变换存在定理的条件且其增长指数均为，由Laplace变换存在定理知也满足Laplace变换存在定理的条件且表明的增长指数为.因此的Laplace变换在半平面上一定存在，且右端积分在上绝对且一致收敛
10、，并且在的半平面内，为解析函数.根据，则的Laplace反演积分公式为从而（交换积分次序）2求下列函数的Laplace逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证.1）.2）.3）.10）.解： 1）.2）,3）,故10）由，有.3求下列函数的Laplace逆变换：1）.6）.13）.解 ： 1）用留数计算法，由于均为的二级极点，所以6）令, ,.13）.241.求下列卷积：3） （为正整数）.解： .注:本小题可先用卷积定理求出 的Laplace变换,再由Laplace逆变换求出卷积6) .解 ： .7) 解 ： 9) .解： .10) . 解： 当, .当, .2.设，利用卷积定理，证明:证
11、明：， 3.利用卷积定理，证明:.证明 ：,由有2-51.求下列常系数微分方程的解：1）；8）；12）；16）。分析：解题步骤，首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace逆变换得最后的解.解：1）方程两边取Laplace变换，并结合初始条件可得即.从而方程的解为8）对方程两边取Laplace变换，并结合初始条件，有即由留数计算法，由于是的一个一级极点，是的一个三级极点，从而方程的解为.12）对方程两边取Laplace变换，并结合初始条件，有即从而方程的解为.16）对方程两边取Laplace变换，并结合初始条件，有即，从而.为了确定，将条件代入上式可得，所以方程的解为2.求下列变系数微分方程的解：1）；3）；5）.解: 1）方程两边取Laplace变换，有即，亦即从而两边积分可得或取其逆变换，有欲求，可由条件得到，即，所以方程的解为其中称为零阶第一类Bessel函数.3）方程两边取Laplace变换，有整理化简后可得即这是一阶线性非齐次微分方程，这里所以
