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1、第六章 集合,6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理,并运算:AB,定义:设A和B是两个集合,则, 存在一个集合,它的元素是所有的或者属于集合A,或者属于集合B的元素组成,称这个集合为集合A与集合B的并集。记为AB ,即 AB=x xA或xB,交运算、差运算,存在一个集合,它的元素是所有的既属于集合A,又属于集合B的元素组成,称这个集合为集合A与集合B的交集。记为AB ,即 AB=x xA且xB,交运算、差运算,存在一个集合,它的元素是所有的属于集合A,但不属于集合B的元素组成,称这个集合为集合A与集合B的差。记
2、为AB ,即 AB=x xA且xB,集合运算性质,定理:设A、B、C是三个任意集合,则:,幂等律 AA=A AA=A 交换律 AB= BA AB= BA 结合律 A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),证明: A(BC)=(AB)(AC),对于任意的x,若x A(BC),则 x A,或xBC 。 当x A,则x AB 且x AC,所以 x (AB)(AC) ; 当xBC,则xB 且xC,就有x AB, 且x AC, 所以 x (AB)(AC) 。 故 A(BC)(AB)(AC) 反过来,若x (AB)(AC),则 x
3、AB, 且x AC 由x AB 得xA 或xB; (1) 由x AC 得xA 或xC 。 (2) 于是,当xA,有x A(BC); 当xA,由(1)和(2), xB 且xC,有xBC ,所以x A(BC)。 故 (AB)(AC) A(BC) 综上知, A(BC)=(AB)(AC)。,对称差,定义2:A,B是两个集合,存在一个集合,它的元素是所有的或者属于A不属于B,或者属于B不属于A,称它为集合A和集合B的对称差,记为AB,即: AB=xxA且xB,或xB且xA,由定义,不难知: AB = (AB)(BA) AA = A = A,命题 (p65) AB = (AB)(AB),证明:对于任何一个
4、x,若xAB,则xAB或xBA。 若xAB,则有xA且xB , 从而有x AB且x AB ,所以x (AB)(AB) ; 若xBA,则有xB且xA , 从而有x AB且x AB ,所以x (AB)(AB) ;因此, AB (AB)(AB) 对于任何一个x,若x (AB)(AB) , 则有x AB且x AB。 若xA,又x AB, 所以xB, 从而有xAB,故xAB; 若xB,又x AB, 所以xA, 从而有xBA,故x AB; 因此, (AB)(AB) AB 综上所得, AB = (AB)(AB) 。,例:(A B) C = A (B C),例1 (p66) (A-B)(A-C)=A在何条件下
5、成立?,解: 根据分析当且仅当 A(BC)=时,等式成立。 首先,假若(A-B)(A-C)=A, 要证明A(BC)=。 用反证法。 若ABC, 则xABC, 所以 xA, xB , xC 。 由xA,xB, 有 x A-B, 又由xA,xC, 有x A-C, 所以有 x (A-B)(A-C)=A。 矛盾说明ABC=。,分析: A的元素a既是B的元素、也是C的元素,则等式不成立。,再证,若A(BC)=, 则(A-B)(A-C)=A成立。,对于任意的x(A-B)(A-C), 则有xA-B或xA-C, 即有x A且xB,或xA且xC,于是有xA, 所以 (A-B)(A-C)A。 对于任意的xA, 若
6、xB,则有xA-B, 进而x(A-B)(A-C); 若xB, 则xAB,由于A(BC)=, 则 xC, 即有xA-C, 进而x(A-B)(A-C); 所以有A(A-B)(A-C) 。 综合得到 (A-B)(A-C)=A成立。,例2 (p66) 已知AB=AC,证明B=C。,证明:因为 AB=AC 所以 A(AB)= A(AC ) 从而有 (AA)B =( AA)C 即 B=C 故 B=C,有限并、有限交,设Pi (1ik)是k个任意集合,把P1P2Pk简记为,把P1P2Pk简记为,推论 (p67),设A, Pi (1ik)是k+1个集合, 则,(分配率对有限并、有限交都成立。),可数并、可数交
7、,设Pi (iN)是任意集合,性质:设A,Pi (iN)是任意集合,广义并、广义交,设H是一个集合,我们称它为下标集,对于H中的每一个元素g, Ag表示一个集合。,广义并、广义交,设D是一个集合簇,也可以认为是一个以集合为元素的集合。我们要求D不是空集合。我们令:,在 D=AggH的情形下 , 有,例3 (p67),设 Sa=x0 xa ,其中a是一个正实数。,令 R+ =xR x0 记 则,幂集,定义3: A是一个集合,存在一个集合,它是由A的所有子集为元素构成的集合, 称它为集合A的幂集合, 记为(A) ,也记为2A 。,例 设A=0,1 ,则 (A)=,0,1,0,1 设B=a,b,c ,则 (B)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c, a,b,c,第六章 集合,6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理,