《【步步高】2014届高三数学大一轮复习 7.4基本不等式教案 理 新人教A版 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2014届高三数学大一轮复习 7.4基本不等式教案 理 新人教A版 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、17.4基本不等式2014 高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用1 基本不等式 aba b2(1)基本不等式成立的条件： a0， b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号2 几个重要的不等式(1)a2 b22 ab(a， bR)(2) 2( a， b 同号)ba ab(3)ab 2 (a， bR)(a b2 )(4) 2 (a， bR)a2 b22 (a b2 )3 算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b 的算术平均数
2、为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为：a b2 ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4 利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有最小值是 2 .(简记：积定和p最小)(2)如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy 有最大值是 .(简记：和定积最p24大)难点正本疑点清源1 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出2现错误2 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如
3、a2 b22 ab 逆用就是 ab ； (a， b0)逆用就是 ab 2 (a， b0)等还要注意a2 b22 a b2 ab (a b2 )“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等3 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 y x (m0)的单调性mx1 若 x0， y0，且 x y18，则 xy 的最大值是_答案81解析由于 x0， y0，则 x y2 ，xy所以 xy 281，(x y2 )当且仅当 x y9 时， xy 取到最大值 81.2 已知 t0，则函数 y 的最小值为_t2 4t 1t答案2解析 t0， y t 4242，且在 t1 时取等号t2 4t 1t 1t3
4、已知 x0， y0，且 2x y1，则 的最小值是_1x 2y答案8解析因为 (2 x y)1x 2y (1x 2y)4 42 8，等号当且仅当 y ， x 时成立yx 4xy yx4xy 12 144 (2012浙江)若正数 x， y 满足 x3 y5 xy，则 3x4 y 的最小值是 ()A. B. C5 D6245 285答案C解析 x0， y0，由 x3 y5 xy 得 1.15(1y 3x)3 x4 y (3x4 y)15 (1y 3x)15(3xy 4 9 12yx)3 2135 15(3xy 12yx) 135 15 3xy12yx5(当且仅当 x2 y 时取等号)，3 x4 y
5、 的最小值为 5.5 圆 x2 y22 x4 y10 关于直线 2ax by20 (a， bR)对称，则 ab 的取值范围是()A. B.( ，14 (0， 14C. D.(14， 0) ( ， 14)答案A解析由题可知直线 2ax by20 过圆心(1,2)，故可得 a b1，又因 ab2 (a b 时取等号)(a b2 ) 14故 ab 的取值范围是 .( ，14题型一利用基本不等式证明简单不等式例 1已知 x0， y0， z0.求证： 8.(yx zx)(xy zy)(xz yz)思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证证明 x0， y0， z0， 0， 0，y
6、x zx 2yzx xy zy 2xzy 0，xz yz 2xyz (yx zx)(xy zy)(xz yz) 8.8yzxzxyxyz当且仅当 x y z 时等号成立探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推4理最后转化为需证问题已知 a0， b0， c0，且 a b c1.求证： 9.1a 1b 1c证明 a0， b0， c0，且 a b c1， 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc3 ba ca ab cb ac bc3 (ba ab) (ca ac) (cb
7、 bc)32229，当且仅当 a b c 时，取等号13题型二利用基本不等式求最值例 2(1)已知 x0， y0，且 2x y1，则 的最小值为_；1x 1y(2)当 x0 时，则 f(x) 的最大值为_2xx2 1思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换如第(1)问把 中1x 1y的“1”代换为“2 x y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式答案(1)32 (2)12解析(1) x0， y0，且 2x y1， 1x 1y 2x yx 2x yy3 32 .当且仅当 时，取等号yx 2xy 2 yx 2xy(2) x0， f(x)
8、1，2xx2 1 2x 1x 22当且仅当 x ，即 x1 时取等号1x(1)已知 x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y 的最小值是 ()A3 B4 C. D.92 112(2)已知 ab0，则 a2 的最小值是_16b a b5答案(1)B(2)16解析(1)依题意，得( x1)(2 y1)9，( x1)(2 y1)2 6， x 1 2y 1即 x2 y4.当且仅当Error!即Error! 时等号成立 x2 y 的最小值是 4.(2) ab0， b(a b) 2 ，(b a b2 ) a24当且仅当 a2 b 时等号成立 a2 a2 a216b a b 16a24 64a22
9、16，当且仅当 a2 时等号成立a264a2 2当 a2 ， b 时， a2 取得最小值 16.2 216b a b题型三基本不等式的实际应用例 3某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m 2，房屋侧面的造价为 150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度 x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域00)，即 x80 时“”成立，故选 B.800x x8忽视最值取得的条件
10、致误典例：(12 分)已知 a、 b 均为正实数，且 a b1，求 y 的最小值(a1a)(b 1b)易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到审题视角(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等” ，而且还要符合已知条件(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围规范解答解方法一 y (a1a)(b 1b) 2(ab1ab) (ba ab) (ab 1ab) 2 2(ab 1ab) (4ab 1ab 3ab) 2 2 .10 分(24ab1ab 3a b2 ) (4 32) 254当且仅当 a b 时，
11、 y 取最小值，最小值为 .12 分12 (a 1a)(b 1b) 254方法二 y ab (a1a)(b 1b) 1ab ab ba ab ab 1ab a2 b2ab 1ab a b 2 2abab7 ab2.6 分2ab令 t ab 2 ，即 t .(a b2 ) 14 (0， 14又 f(t) t 在 上是单调递减的，10 分2t (0， 14当 t 时， f(t)min ，此时， a b .14 334 12当 a b 时， y 有最小值 .12 分12 254温馨提醒(1)这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正
12、、二定、三相等否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件.方法与技巧1 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形比如：(1)当 x2 时， x ( x2) 2224.1x 2 1x 2(2)00，即 a，D 错误，故选 B.ab a b a ab2 (2012福建)下列不等式一定成立的是 ()Alg lg x(x0)(x214)
13、Bsin x 2( x k， kZ)1sin xC x212| x|(xR)D. 1(xR)1x2 1答案C解析当 x0 时， x2 2 x x，14 12所以 lg lg x(x0)，故选项 A 不正确；(x214)而当 x k， kZ 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x0 时，有 1，故选项 D 不正确1x2 13 设 x， yR， a1， b1，若 ax by3， a b2 ，则 的最大值为 ()31x 1yA2 B. C1 D.32 12答案C解析由 ax by3，得： xlog a3， ylog b3，由 a1， b1 知x0， y0， log 3alog 3blog 3ablog 3 21，当且仅当 a b 时1x 1y (a b2 ) 39“”成立，则 的最大值为 1.1x 1y4 已知 00. x(33 x)3 x(1 x)3 2 .(x 1 x2 ) 34当 x1 x，即 x 时取等号12二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 已知 x， yR ，且满足 1，则 xy 的最大值为_x3 y4答案3解析 x0， y0 且 1 2 ， xy3.当且仅当 时取等号x3 y4 xy12 x3 y46 (2011湖南)设 x， yR，且 xy0，则 的最小值为_(x21y2) (1
