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1、作业答案,作业1,计算仅与矢径 有关的标量函数 的梯度 。,解答：,作业2,证明：,解答：,作业3,的场称为无源场。证明无源矢量 经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。,任取此矢量管的两横截面 和 ，考虑由横截面 ， 和 ， 与矢量管侧面 所组成的封闭曲面S，以V表示S内的体积. 由高斯公式 矢量场无源，故 ，,在矢量管侧面 上， 无源矢量经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。,作业4,证明：若 是位势场（ ），则必为无旋场；反之亦然。,设 反之，设 ，由stokes公式有 其中 是任意边界，于是矢量 沿任意封闭回线 的线积分为0 。 则必为位势场（某一标量函数的梯度场）。,作业5,将
2、 和 转化为面积分,作业6,写出并矢 的分量形式。 解答,作业7,设椭球面中心为O点，P为椭球面上任一点，其矢径为 ，则,根据,故 得证 结果说明 的方向恰与张量椭球面在P点的法线方向一致。,作业8,将并矢张量 分解成对称部分和反对称部分，求其反对称部分相当的矢量 。,作业9,计算并矢张量 的不变量。,作业10,试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？,对于,两个应力张量表示同一应力状态。,作业11,用解析的方法求证,作业12,设平面纯剪切运动的速度分布为 试求： 1、 ， 及旋转速度 和变形速度 2、主值及主轴方向，变形张量的标准形式。,三个不变量为,特征方程为 对应主轴方向为,在主轴坐
3、标系中变形速度张量的标准形式为 对应二次曲面方程为 为双曲面,作业13,1、设变形体运动由下列欧拉变数下的速度函数 给出，求t=0时过M（-1，-1）点的流线与轨迹。 2、设流体运动以欧拉观点给出 将此转换到拉格朗日观点中取，并求加速度。,流线微分方程为 解此微分方程得 t=0时x=-1，y=-1 C=-1 得流线方程为,轨迹微分方程为 解此微分方程得到,t=0时x=-1，y=-1 C1=C2=0 消去t后得轨迹方程,作业13,2、设流体运动以欧拉观点给出 将此转换到拉格朗日观点中去，并求加速度。,解之得到,理解随体导数的概念。对于某个质点而言，由于场的不均匀性和非定常性而引起的变化。由于C1
4、,C2 (C3)决定不同的质点初始位置 。 C1,C2 (C3)可由各质点初始位置（坐标或矢径）决定 。,在拉格朗日坐标中不出现x、y、z，只出现a、b、c（Lagrange变数） 即x、y、z不变化，即t=0时刻，每一组a、b、c都用一组固定的x、y、z做了标识。,在欧拉坐标中，纵观全局变化,作业14,3、 k是非零常数。 请判断速度场是否定常？ 流场是否可压缩？ 是否有旋流场？,其中，此a、b、c（系数）非彼a、b、c（Lagrange变数）。 但此a、b、c（系数）由彼a、b、c（Lagrange变数）决定。 其中a、b、c实际上是x0,、y0、z0，即t=0时刻质点标识。,其速度函数为
5、 （） 其中*表示某一质点的速度,因为a、b、c由x0,、y0、z0决定，它们之间必定有函数关系， 求得x0,、y0、z0即求得a、b、c。 (),将()回代入（）,解答 1、由于速度表达式中并未包含时间t项，故与时间无关，属定常运动。 2、速度的散度为 ，故为不可压缩运动。 3、速度的旋度为 ，故为无旋运动。,作业15,有一圆形截面的均匀直杆，处于弯扭组合应力状态，其简单拉伸时的屈服应力为300MPa。 设弯矩为M=10kNm，扭矩Mi=30kNm，要求安全系数为1.2，则直径d为多少才不会屈服？,解： 处于弯扭组合作用下，杆内主应力为 其中,由特雷斯卡条件（最大剪应力条件）给出 考虑安全系数后得到 得到,由米赛斯条件（最大畸变能条件）给出 得到,作业16,一阶偏微分方程 u(x,y)的初始条件为u(0,y)=5y+10 用特征线方法确定： 1 通过点(2,4)的特征线， 2 沿此特征线的相容方程， 3 u(2,4)的值。,解： （1）对照一般形式的双曲型方程 该方程,对应的各系数为 特征线方程为 积分得,为确定通过点（2,4）的特征线，将点坐标代入得 所以，所求的特征线方程为,（2）偏微分方程的相容方程为 对上式积分得,由 1、 的初始条件为 2、特征线方程为 得到,相容方程为 （3）,
