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1、“将军饮马”类题型大全一求线段和最值1(一)两定一动型例1:如图, AMEF,BNEF,垂足为M、N,MN12m,AM5m,BN4m, P是EF上任意一点,则PAPB的最小值是_m分析:这是最基本的将军饮马问题,A,B是定点,P是动点,属于两定一动将军饮马型,根据常见的“定点定线作对称”,可作点A关于EF的对称点A,根据两点之间,线段最短,连接AB,此时APPB即为AB,最短而要求AB,则需要构造直角三角形,利用勾股定理解决解答:作点A关于EF的对称点A,过点A作ACBN的延长线于C易知AMAMNC5m,BC9m,ACMN12m,在RtABC中,AB15m,即PAPB的最小值是15m变式:如图
2、,在边长为2的正三角形ABC中,E,F,G为各边中点,P为线段EF上一动点,则BPG周长的最小值为_分析:考虑到BG为定值是1,则BPG的周长最小转化为求BPPG的最小值,又是两定一动的将军饮马型,考虑作点G关于EF的对称点,这里有些同学可能看不出来到底是哪个点,我们不妨连接AG,则AGBC,再连接EG,根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”,可得AEEG,则点A就是点G关于EF的对称点最后计算周长时,别忘了加上BG的长度解答:连接AG,易知PGPA,BPPGBPPA,当B,P,A三点共线时,BPPGBA,此时最短,BA2,BG1,即BPG周长最短为3.2(二)一定两动型例2:如图,在ABC
3、中,ABAC5,D为BC中点,AD5,P为AD上任意一点,E为AC上任意一点,求PCPE的最小值分析:这里的点C是定点,P,E是动点,属于一定两动的将军饮马模型,由于ABC是等腰三角形,AD是BC中线,则AD垂直平分BC,点C关于AD的对称点是点B,PCPEPBPE,显然当B,P,E三点共线时,BE更短但此时还不是最短,根据“垂线段最短” 只有当BEAC时,BE最短求BE时,用面积法即可解答:作BEAC交于点E,交AD于点P,易知ADBC,BD3,BC6,则ADBCBEAC,46BE5,BE4.8变式:如图,BD平分ABC,E,F分别为线段BC,BD上的动点,AB8,ABC的周长为20,求EF
4、CF的最小值_分析:这里的点C是定点,F,E是动点,属于一定两动的将军饮马模型,我们习惯于“定点定线作对称”,但这题这样做,会出现问题因为点C的对称点C必然在AB上,但由于BC长度未知,BC长度也未知,则C相对的也是不确定点,因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点解答:如图,作点E关于BD的对称点E,连接EF,则EFCFEFCF,当E,F,C三点共线时,EFCFEC,此时较短过点C作CEAB于E,当点E 与点E重合时,EC最短,EC为AB边上的高,EC5.(三)两定两动型例3:如图,AOB30,OC5,OD12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点,求CFEFDE的最小值.分析:这里的点
5、C,点D是定点,F,E是动点,属于两定两动的将军饮马模型,依旧可以用“定点定线作对称”来考虑作点C关于OB的对称点,点D关于OA的对称点解答:作点C关于OB的对称点C,点D关于OA的对称点D,连接CD CFEFDE CF EF DE,当C,F, E,D四点共线时,CFEFDE CD最短易知DOC90,OD12,OC5,CD13,CFEFDE最小值为13变式:(原创题)如图,斯诺克比赛桌面AB宽1.78m,白球E距AD边0.22m,距CD边1.4m,有一颗红球F紧贴BC边,且距离CD边0.1m,若要使白球E经过边AD,DC,两次反弹击中红球F,求白球E运动路线的总长度分析:本题中,点E和点F是定
6、点,两次反弹的点虽然未知,但我们可以根据前几题的经验作出,即分别作点E关于AD边的对称点E,作点F关于CD边的对称点F,即可画出白球E的运动路线,化归为两定两动将军饮马型解答:作点E关于AD边的对称点E,作点F关于CD边的对称点F,连接EF,交AD于点G,交CD于点H,则运动路线长为EGGHHF长度之和,即EF长,延长EE交BC于N,交AD于M,易知EMEM0.22m,EN1.780.222m,NFNCCF1.40.11.5m,则RtENF中,EF2.5m,即白球运动路线的总长度为2.5m小结:以上求线段和最值问题,几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题,基本方
7、法还是“定点定线作对称”,利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质,将线段和转化为直角三角形的斜边,或者一边上的高,借助勾股定理,或者面积法来求解当然,有时候,我们也需学会灵活变通,定点对称行不通时,尝试作动点对称(二)求角度例1:P为AOB内一定点,M,N分别为射线OA,OB上一点,当PMN周长最小时,MPN80(1)AOB_(2)求证:OP平分MPN分析:这又是一定两动型将军饮马问题,我们应该先将M,N的位置找到,再来思考AOB的度数,显然作点P关于OA的对称点P,关于OB的对称点P,连接PP,其与OA交点即为M,OB交点即为N,如下图,易知DPC与AOB互补,则求出DPC的度
8、数即可解答:(1)法1:如图,12100,1P323,2P424,则3450,DPC130,AOB50再分析:考虑到第二小问要证明OP平分MPN,我们就连接OP,则要证56,显然很困难,这时候,考虑到对称性,我们再连接OP,OP,则57,68,问题迎刃而解解答:(1)法2:易知OPOP,785680,POP100,由对称性知,911,1012,AOB91050(2)由OPOP,POP100知,7840,5640,OP平分MPN变式:如图,在五边形ABCDE中,BAE136,BE90,在BC、DE上分别找一点M、N,使得AMN的周长最小时,则AMNANM的度数为_分析:这又是典型的一定两动型将军饮马问题,必然是作A点关于BC、DE的对称点A、A,连接AA,与BC、DE的交点即为AMN周长最小时M、N的位置解答:如图,BAE136,MAANAA44 由对称性知, MAAMAA, NAANAA, AMNANM2MAA2NAA88思考题:1.(2017安顺)如图所示,正方形ABCD的边长为6,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为_2.(2017安徽改编)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3P为矩形ABCD内一点,若矩形ABCD面积为PAB面积的4倍,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为_