《2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第7讲计数原理与排列组合课件4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第7讲计数原理与排列组合课件4（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7讲 计数原理与排列组合,1.分类加法原理与分步乘法原理 (1)分类加法原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一 类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的 方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件,事共有 Nm1m2mn 种不同的方法.,m1m2mn,(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成 n 个步骤，缺 一不可，在第一个步骤中有 m1 种不同的方法，在第二个步骤中 有 m2 种不同的方法，在第 n 个步骤中有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N_种不同的方法.,2.排列与排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，
2、按照一定的顺 序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用,n！,1,3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.,1,1.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2 人不相邻的坐,),D,法种数为( A.144 种 C.72 种,B.120 种 D.24 种,2.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每,),项工作由 1 人完成，则不同的安排
3、方式共有( A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种,D,3.(2018 年新课标)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科 技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种.(用,数字填写答案),16,4.(2019 年上海)首届中国国际进口博览会在上海举行，某 高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_种.(结果用数,值表示),24,考点 1 计数原理,考向 1,分类加法计数原理,例 1：(1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下， 由甲开始踢，经过 3 次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的
4、,传递方式共有(,),A.5 种,B.2 种,C.3 种,D.4 种,解析：传递方式有甲乙丙甲；甲丙乙甲.或画,出树状图如图 D112：,图 D112 答案：B,(2)(2018 年江西九江模拟)已知两条异面直线 a，b 上分别有,5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为(,),A.40,B.16,C.13,D.10,解析：分两类情况讨论： 第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不 同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定 85 13(个)不同的平面. 答案：
5、C,【规律方法】(1)分类加法计数原理的实质：,分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要 分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对 独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.,(2)使用分类加法计数原理遵循的原理：,有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，,都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.,考向 2,分步乘法计数原理,例 2：(1)5 名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一,所院校，则不同的报名方法的种数是(,),解析：应届生报名，分五步，第一步第 1 名学生报名有 3 种选择，第二步第 2 名学生报名有 3 种选择，第三步第 3 名学
6、生报名有 3 种选择，第四步第 4 名学生报名有 3 种选择，第五 步第 5 名学生报名有 3 种选择，根据分步乘法记数原理共有 3333335(种)报名方法，故选 A. 答案：A,(2)乘积(a1 a2 a3)(b1 b2 b3 b4)(c1 c2 c3c4 c5),的展开式中，共有多少项(,),A.12,B.30,C.36,D.60,解析：从三个括号中各取一项相乘，作为展开式中的一项， 可以分成三步：第一步，从第一个括号中选一项有 3 种方法； 第二步，从第二个括号中选一项有 4 种方法；第三步，从第三 个括号中选一项有 5 种方法. 由分步乘法计数原理可知共有 34560(项). 答案：
7、D,【规律方法】(1)分步乘法计数原理的实质：,分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要 分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能 单独完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.,(2)使用分步乘法计数原理的关注点：,明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事,需要几个步骤，且每步都是独立的；,将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一 定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成， 这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的 积就是完成事件的方法总数.,考向 3,两个计数原理的综合应用,例 3：(1)中国古代中的“礼、乐、射、
8、御、书、数”合称 “六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射” 和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识； “数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺 安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数” 必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课.则“六,艺”课程讲座不同排课顺序共有(,),A.120 种,B.156 种,C.188 种,D.240 种,答案：A,(2)如图 9-7-1，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路， 其中有 6 个焊接点 A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整 个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可
9、能情况 共有_种.,图 9-7-1,解析：每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要 有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26163(种)可能 情况.,答案：63,(3)如图 9-7-2，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色， 若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择， 则不同的着色方法共有_种(用数字作答).,图 9-7-2,共有 432372(种)不同着色方法.,方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形 变化后，需要有敏锐的观察力.本题能较深刻地测试逻辑思维能 力.,因区域 1 与其他四个区域都相邻，宜先考虑，区域 1 有 4 种涂法.若区域 2,4 同
10、色，有 3 种涂法，此时区域 3,5 均有两种 涂法，涂法总数为 432248(种)；若区域 2,4 不同色， 先涂区域 2 有 3 种方法，再涂区域 4 有 2 种方法.此时区域 3,5 也只能有 1 种涂法，涂法总数为 4321124(种).因此 涂法共有 482472(种).,答案：72,【规律方法】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题,策略：,与数字有关的问题.可分类解决，每类中又可分步完成，,也可以直接分步解决；,与几何有关的问题.可先分类，再分步解决；,涂色问题.可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区,域分步完成.,考点 2 排列问题,例 4：(1)7 位同学站成一排： 共有多
11、少种不同的排法？,站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？ 其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？ 甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？,甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的,排法有多少种？,甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？,甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ 甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？,甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻
12、的排,法共有多少种？,甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？,甲、乙两人中间恰好有 3 人的不同排法共有多少种？,(2)6 本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必 须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有,(,),A.24 种,B.36 种,C.48 种,D.60 种,答案：A,【规律方法】涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特 殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其 他位置(这种方法称为元素分析法或位置分析法).,(续表),考点 3 组合问题,例 5：(1)从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学 校的某项调查，求在下列情况下，各有多少种
13、不同的选法？,无任何限制；,甲、乙必须当选； 甲、乙都不当选；,甲、乙只有一人当选； 甲、乙至少有一人当选； 甲、乙至多有一人当选.,思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数.,(2)某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于 上课时间相同，至多选一门.学校规定，每位同学选修 4 门，共 有_种不同的选修方案(用数值作答).,答案：75,【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化：,“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；,“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必 须十分
14、重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重 复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,考点 4,排列组合中的平均分配问题,例 6：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)平均分成三堆，每堆两本； (2)平均分给甲、乙、 丙三人，每人两本； (3)一堆一本，一堆两本，一堆三本； (4)甲得一本，乙得两本，丙得三本； (5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.,【规律方法】解决分组分配问题的策略：,(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序 数)，避免重复计数.,(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组
15、的阶 乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，一个 分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列 数.,(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何 组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.,【跟踪训练】 1.某地发生了 7.0 级地震，现派一支由 5 人组成的先锋救援 队到该市 3 所学校进行紧急救灾，若每所学校至少 1 人，则不,同的安排方案共有_种(用数字作答).,150,2.某校高三年级六个班，现从外地转入 4 名学生安排在其,中两个班，每班 2 名，则不同的安排方案种数为(,),A.6,B.24,C.180,D.90,D,思想与方法,分类讨
16、论思想在排列组合问题中的应用,例题：(1)某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生和 4 名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生 都有，则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法有_种.,答案：86,(2)(2018 年浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中 任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四 位数.(用数字作答),答案：1260,【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素位置的选取出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既 不能重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性.,【跟踪训练】 3.2019 年元旦假期，高二的 8 名同学准备拼车去旅游，其 中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置)， 其中(1)班 2 名同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的,4 名同学中
