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1、一、几何概型,三、小结,1.4 几何概型和概率的公理化定义,二、概率的公理化定义,把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了.,一、几何概率,定义,定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.,几何概型的概率的性质,(1) 对任一事件A ,有,
2、那末,两人会面的充要条件为,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x, y 表示平面 上点的坐标 ,则有,蒲丰投针试验,例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.,解,由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问
3、题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义 ,使概率论有了迅速的发展.,二、概率的公理化定义与性质,概率的可列可加性,1. 概率的定义1.7,证明,由概率的可列可加性得,2. 性质,证明,由概率的可列可加性得,证明,证明,证明,由图可得,又由性质 3 得,因此得,推广 - 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,定义 :对于F上的集合函数P，若对于F中的任一单调不减集合序列An,有,则称集合函数P在F上是下连续的，其中,定理: 若P是F上的非负规范的集函数，则P具有可列可加性的
4、充要条件是（1)P是有限可加的；(2)P是F上是下连续的。,解,同理可得,解,例4 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”则所求概率为,解,于是所求概率为,2. 最简单的随机现象,古典概型,古典概率,三、小结,几何概型,几何概率(无限等可能情形),4. 概率的主要性质,Born: 25 April 1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied: 20 Oct 1987 in Moscow,Russia,柯尔莫哥洛夫资料,Andrey Nikolaevich Kolmogorov,蒲丰资料,Born: 7 Sept 1707 in Montbard, Cte dOr, FranceDied: 16 April 1788 in Paris, France,Georges Louis Leclerc Comte de Buffon,
