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1、七年级数学下册 第三章平面直角坐标系 一、知识纲要 1、有序实数对：按一定顺序排列的两个实数a与 b 所组成的数对，叫有序实数对， 记作（ a ，b） 。 注意a 与 b 的先后顺序不能随意调换，如果调换，就会变成新的数对， 即（ a ，b）与（ b ，a）是不同的两个有序实数对。 （a ，b）是一个整体，括号和逗号不能漏写。 2、平面直角坐标系： （1） 、发展历史：法国数学家笛卡儿 最早引入坐标系，从而实现用代数方法研究几何图形；为了方 便使用， 笛卡儿斜坐标系发展成为 直角坐标系 。 （2） 、定义： 在平面内， 由两条 相互垂直、 并且原点重合的数轴构成的参考系统叫 平面直角坐标系。
2、（3） 、相关术语： 横轴（ x 轴） 、纵轴（ y 轴） 、坐标原点（点O） 、数轴正方向（横轴向右，纵轴向上）、 刻度长（横轴纵轴刻度长相同）、象限（右上角起，逆时针数，第I、II 、III 、IV 象限） （如下 图 3-1） 3、平面直角坐标： （1） 、定义：在平面内，如果给定一个平面直角坐标系xOy，那么平面上的任意一个点P 的位置都 可以用这个坐标系下对应得到的一组唯一确定的有序实数对来表示，这组有序实数对就叫做点P 在坐 标系 xOy 下的平面直角坐标，简称点 P 的坐标，记为P（ a ，b） ，其中 a 为横坐标， b 为纵坐标。 （2） 、坐标的产生： 过点 P分别向 x
3、轴和 y 轴作垂线， 落在 x 轴（横轴）上的垂足P1所表示的数字 a 就是点 P 的 横坐标，落在y 轴（纵轴）上的垂足P2所表示的数字b 就是点 P 的纵坐标。（如下 图 3-1） y(纵轴 ) x(横轴 ) O（坐标原点） 第四象限 （IV） 第三象限 （III ） 第二象限 （II） 第一象限 （I） P （a， b）P2 b P1 a 图 3-1 （3） 、坐标的写法：对于P（a ， b）或 A（x， y） 表示点的字母后面直接跟括号，没有等号，即“P=（ a ，b） ”是错误的； 括号为小括号（或称圆括号），横纵坐标之间是逗号，不是顿号； 书写是，横坐标在前，纵坐标在后，先后顺序不
4、能调换； 横纵坐标都可以是任何实数，即对于P（a ，b） ，a和 b 可能是有理数、也可能是无理数。 （ 4） 、不同位置的坐标特征： 注（I）可以翻译为方程的条件： x 轴上的点， 纵坐标 =0，横坐标为任何数（包括0） ； y 轴上的点， 横坐标 =0，纵坐标为任何数（包括0） ； 与原点重合的点， 纵坐标 =0，横坐标 =0（可列方程组或方程）； 连线与 x 轴平行的两个点， 纵坐标相等；（如图 3-2） 连线与 y 轴平行的两个点， 横坐标相等。（如图 3-3） 位于第一、三象限平分线的点，纵坐标 =横坐标；（如图 3-4 ） 位于第二、四象限平分线的点，纵坐标 +横坐标 =0；（如图
5、 3-5） （II）可以翻译为不等式或不等式组的条件： 位于第一限的点， 横坐标 0，纵坐标 0； 位于第二限的点， 横坐标 0，纵坐标 0； 位于第三限的点， 横坐标 0，纵坐标 0； 位于第四限的点， 横坐标 0，纵坐标 0。 坐标轴上点 P（x，y） 连线平行于坐标轴的点 点 P（x，y）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X轴Y轴原点平行于 X轴平行于 Y轴 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 第一、 三象限 第二、 四象限 (x,0 ) (0,y) (0,0 ) 纵坐标相同 横坐标不同 横坐标相同纵 坐标不同 x0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 y0 (m,
6、m)(m,-m) X Y A B m 点 A、 B的纵坐标都等于m 图 3-2 n C D X Y 点 C、D的横坐标都等于n 图 3-3 （III）坐标轴上的点不属于任何象限 （IV）原点是 x 上的点，也是 y 轴上的点。 4、坐标系、坐标和位置： 坐标系是为了描述点的位置而引入的参考系统，它是人为规定的工具，它可以根据实际需要而引 入。一般的，同一个平面内只引入一个坐标系。 坐标是在坐标系下产生的有序实属对，是点的位置的代数表示。没有坐标系就没有坐标。 同一个点在不同的坐标系下产生的坐标一定不相同，但在同一个坐标系下产生的坐标一定是相同 的，即：只要坐标系确定，那么任何一个点都有唯一一组
7、坐标，反之，任何一组坐标都唯一表示 一个点（点与坐标一一对应）。 在数轴（一维系统）上，点P与实数 a 一一对应，在平面直角坐标系（二维系统）上，点P与坐 标（ a，b）一一对应。 任何一个点P，它的位置都是存在的，即没有坐标系和坐标，位置仍然存在；但是在引入坐标系 后，点的位置就可以得到一个代数代数表达形式P（a， b） 。 5、坐标系下的对称和平移： （ 1） 、点 P（x，y）左右平移和上下平移（如图 3-6） ： 左右平移，对横坐标进行加减；上下平移，对纵坐标进行加减； 向正方向移动用“加”，向负方向移动用“减”。 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，
8、从图形上 点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 （ 2） 、点 P（m，n）的对称点： 点 P),(nm关于x轴的对称点为),( 1 nmP， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；（如图 3-7） X y P m n O 图 3- 4 y P m n O X 图 3-5 P（x，y） P （x， ya） P （xa， y）P （xa， y） P （x， ya） 向上平移a 个单位 向下平移a 个单位 向右平移a 个单位向左平移a 个单位 图 3-6 点 P),(nm关于y轴的对称点为),( 2 nmP， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；（如图 3-8） 点 P),(nm关
9、于原点的对称点为 ),( 3 nmP，即横、纵坐标都互为相反数；（如图 3-9） 点 P),(nm关于横线y=b 的对称点为 )n-2b,( 1 mP， 即横坐标不变， 纵坐标的平均数等于对称轴； 点 P),(nm关于竖线x=a 的对称点为)n,m-a2( 2 P， 即纵坐标不变， 横坐标的平均数等于对称轴。 6、坐标系的简单应用： （1） 、点到坐标轴的距离（坐标 P(a,b)的几何意义） ： 点 P(a,b)到 x 轴的距离为|b|，点 P(a,b)到 y 轴的距离为|a|。 （2） 、点 P 到原点 O 的距离为OP 22 ba （3） 、坐标平面上两点的距离： 已知点 A（x1,y1）
10、和 B（ x2,y2） ，则 AB= 2 21 2 21y-yx-x （4） 、利用坐标系表示地理位置：横坐标为经度，纵坐标为纬度。 （5） 、坐标平面上的图形对称和图形平移：利用点对称和点平移来解决。 （6） 、坐标平面上的线段长： 轴线上的两点间线段长，相应坐标大减小； 连线平行于x 轴的两点间线段长，横坐标大数减去小数； 连线平行于y 轴的两点间线段长，纵坐标大数减去小数； 普通的两点，它们之间的线段长为：AB= 2 21 2 21 y-yx-x X y P 1 P n n m O 图 3-7 关于 x 轴对称 X y P 2 P m m n O 图 3-8 关于 y 轴对称 X y P 3 P m m n O n 图 3-9 关于原点轴对称 P（ba,） a b x y O A（x1,y1） B（x2,y2） 图 3-10 （7） 、坐标平面上的图形面积问题：用割补和拆分等方法构造特殊的平面图形来求（如：直角三角 形，矩形，正方形，梯形，平行四边形，菱形，扇形等）。
