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1、2012 年中考复习二轮材料归纳猜想型问题一 专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。二 解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
2、相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。三 考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。例 1 （2011 云南曲靖
3、）将一列整式按某种规律排成x，2x 2，4x 3，8x 4，16x 5则排在第六个位置的整式为 【分析】符号的规律：n 为奇数时，单项式为正号，n 为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第 n 个对应的系数的绝对值是 2n1 指数的规律：第n 个对应的指数是 n【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：2 6x6=32x 6故答案为：32x 6【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键例 2 （2011 山东济宁）观察下面的变形规律：1 ；
4、； ； 2312431解答下面的问题：（1）若 n 为正整数，请你猜想 ；)(n（2）证明你猜想的结论；（3）求和： .213412019【分析】 （1）根据 的定义规则，可知 ， ， ， 则ija34a3526a537有 235230a（2） 观察数表可知，第 1 问中的 恰是 的具体形式，2,35,a,npkmka若将 赋值于不同的行与列，我们不难发,npkmka现 0pa【解答】 （1） 1n（2）证明： )()1(n()n)1(（3）原式1 234209209【评注】归纳猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出
5、结论本题属于典型的开放性探究题，其中的分数形式、分母中相邻两数相差 1，都给答案探究提供了蛛丝马迹。问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律从培养学生不完全归纳能力的角度看，不失为一道训练思维的好题考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。例 1 （2011 重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有 1 个平行四边形，第个图形中一共有 5 个平行四边形，第个图
6、形中一共有 11 个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为（）A、55 B、42 C、41 D、29【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动 4 次后便可重合，即 4次一个循环，10422，所以应和图相同【解答】图平行四边形有 5 个=1+2+2，图平行四边形有 11 个=1+2+3+2+3，图平行四边形有 19=1+2+3+4+2+3+4，图的平行四边形的个数为 1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41故选 C【评注】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳
7、与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题例 2 （2011 浙江舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A、2010 B、2011 C、2012 D、2013【分析】该纸链是 5 的倍数，中间截去的是剩下 3+5n，从选项中数减 3 为 5的倍数即得到答案【解答】由题意设被截去部分为 5n+2+1=5n+3，从其选项中看，故选 D【评注】本题考查了图形的变化规律，从整体是 5 个不同颜色环的整数倍数，截去部分去 3 后为 5 的倍数，从而得到答案考点三：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就
8、是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。例 1 （2011 江西南昌，25，10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设 BAC= （ 0 90 ）.现把小棒依次摆放在两射线 AB， AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点 A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直， A1A2为第 1 根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能” ）（2）设 AA1=A1A2=A2A3=1. = 度；若记小棒 A2n-1A2n的长度为 an（ n 为正整数，
9、如 A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2， a3的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示）.图甲活动二：如图乙所示，从点 A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2为第 1 根小棒，且 A1A2= AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了 3 根小棒，则 = ， = ， = 123；（用含 的式子表示）（4）若只能摆放 4 根小棒，求 的范围.图乙【分析】 （1）显而易见，能。（2）22.5方法一：AA 1=A1A2=A2A3=1， A 1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .22又A 2A3A 3A4，A 1A2A 3A4.同理：A3A4A 5A6，A=AA
10、 2A1=AA 4A3=AA 6A5，AA 3=A3A4，AA 5=A5A6，a 2= A3A4=AA3=1+ ,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.A 3A5= a2,a 3=A5A6=AA5=a2+ a2=( +1)2.方法二：AA 1=A1A2=A2A3=1， A 1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .又A 2A3A 3A4，A 1A2A 3A4.同理：A3A4A 5A6，A=AA 2A1=AA 4A3=AA 6A5，a 2=A3A4=AA3=1+ ,又A 2A3A4=A 4A5A6=90，A 2A4A3=A 4A6A5，A2A3A4A 4A5A6， ，a 3= =(
11、+1)2.1a12an=( +1)n-1.(3) 4321(4)由题意得 ，15 18.9056【解答】 （1）能（2）22.5a n=( +1)n-1.(3) 4321，(4)由题意得 ，15 18.9056【评注】这是一道典型的归纳猜想型问题，以物理学中反射的知识作为命题载体，而三角形外角等于不相邻的两个内角和，是解决问题的主干数学知识。例 2 （2011 浙江衢州） 是一张等腰直角三角形纸板，ABC.Rt2C，要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1） ，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. （图 2）（图 1）PNDFEBAC CAB
12、QM图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在1S余下的 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2ADE和次剪取，并记这两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四2S2=个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3次剪取，并记这四个正方形的面积和为 (如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪3取时， . 10S求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【分析】解决问题的关键看内接正方形的一边与三角形重合的边落在三角形的哪条边上，通过对例题的分析，直角三角形的内接正方形有两种，比较两者的大小，可知，直角
13、边上的内接正方形的边长比斜边上的内接正方形的边长大。【解答】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如,1,1CFDEAEDCS正 方 形即图乙，设 ，则由题意，得MNxMQPNBMx232,38()9PNMQS正 方 形 解 得又 819甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 的中点，ABC、 、2ABCCFDESS正 方 形解法 2：如图甲，由题意得 AC， 即 =1如图乙，设 ,MNxMQPNMx则 由 题 意 得23,31,xEC解 得又 即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2) 2S(3) 109(3)解法 1：探索规律可知： 12nS剩余三角形的
14、面积和为： 1210 911242S 解法 2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为 1=S第二次剪取后剩余三角形面积和为 22第三次剪取后剩余三角形面积和为 334第十次剪取后剩余三角形面积和为 9109=2S【评注】类比思想是数学学习中不可缺少的一种数学方法，它可以使一些数学问题简单化，也可以使我们的思维更加广阔。数学思维呈现形式是隐蔽的，难以从教材中获取，这就要求在教学过程中，有目的地进行思维训练，通过思维类比，不断在解决问题中深化引导，学生的数学思维能力就会得到相应的提高。考点四：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一
15、定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换” 。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。例 1 （2010 河北）将正 方 体 骰 子 （ 相 对 面 上 的 点 数 分 别 为 1 和 6、 2 和5、 3 和 4） 放置于水平桌面上，如图 6-1在图 6-2 中，将骰子向右翻滚 90，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90，则完成一次 变 换 若 骰 子 的 初 始 位 置 为 图6-1 所 示 的 状 态 ， 那 么 按 上 述 规 则 连 续 完 成 10 次 变换后，骰子朝上一面的点数是A6 B5 C3 D2【分析】不妨把立体图形用平面的形式表现出来。如右图所示。前三次变换过程为下图所示：图 6-1 图 6-2向右翻滚 90 逆时针旋转 90可以发现，三次变换可还原成初始状态。十次意味着三轮还原后又变换
