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2.4 函数的极限的定义 与基本理论,一、极限的定义,问题 :,如何用描述?,定义4.1 （邻域）,定义4.2（函数极限）,注1：,注2：,注3：,几何意义,例1,证,例2,证,函数在点x=1处没有定义.,定义4.3（极限不存在的定义）,例2,证明,二、函数极限的性质,证明：,性质4.1.（唯一性）,证明：,性质4.2.（局部有界性）,性质4.3. (保序性),证明：,性质4.4(保号性),证明：,性质4.5(夹逼定理),证明：,例3 求,解：如图易得,三、极限的四则运算性质,定理4.1（函数极限四则运算性质）,定理4.2（复合函数的极限）,证明：,注：,定理4.3 ( 海涅定理),注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系,四、海涅定理和柯西定理,证：,该结论可以方便的证明函数极限不存在.,注：,例4,证,得证,证明：,定理4.4 ( 柯西收敛定理),左极限,右极限,定义4.4:（函数的左右极限）,定理4.5,五、小结,1、极限的定义,2、函数极限的性质,3、极限的四则运算性质,4、海涅定理和柯西定理,5、左右极限及其性质,
