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1、1 一、锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数的定义： 在中，C=90，、分别是A、B、C 的RT ABCabc 对边，则： sin Aa A c 的对边 斜边 cos Ab A c 的邻边 斜边 tan Aa A Ab 的对边 的邻边 cot Ab A Aa 的邻边 的对边 常用变形：；等，由同学们自行归纳。sinacA sin a c A 二、锐角三角函数的有关性质：二、锐角三角函数的有关性质： 1、 当 0A90时，；0sin1A0cos1Atan0Acot0A 2、 在 090之间，正弦、正切（、）的值，随角度的增大而增大 ； 余弦、余切（、sintancos ）的值，随角度的增大而减小
2、。cot 三、同角三角函数的关系：三、同角三角函数的关系： 22 sincos1AAtancot1AA sin tan cos A A A cos cot sin A A A 常用变形： （用定义证明，易得，同学自行完成） 2 sin1 cosAA 2 cos1 sinAA 四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图 1，由定义可得： 同理可得：sincoscos(90) a ABA c sincos(90)AAcossin(90)AAtancot(90)AAcottan(90)AA 五、特殊角的三角函数值：五、特殊角的三角函数值： 三角函数sincos
3、tancot 30 1 2 3 2 3 3 3 45 2 2 2 2 11 60 3 2 1 2 3 3 3 六、解直角三角形的基本类型及其解法总结：六、解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型已知条件解法 两直角边、ab， 2 2 cabtan a A b 90BA 两边 直角边 ，斜边ac， 22 bcasin a A c 90BA 直角边，锐角 Aa，90BAcotbaA sin a c A 一边 一锐角 斜边，锐角 Ac，90BAsinacA cosbcA 图 1 CB A 60 30 3 2 1 B C A 45 2 2 2 B C A 2 图 2 D CB A 七、三角形的面积公
4、式：七、三角形的面积公式： 已知中，A、B、C 的对应边分别是、，如图 2，过点 A 作 ADBC 于点 D。在ABCabc 中，即：（）RT ABDsin AD B AB sinADABBsinADcB （其中：B 为、的夹角） 111 sinsin 222 ABC SBC ADa cBacB ac 同理可得同理可得：（三角形的面积公（三角形的面积公 111 sinsinsin 222 ABC SacBbcAabC 式）式） 由面积公式可得： 11 sinsin 22 acBbcA 两边同时除于 得： 1 2 csinsin sinsin ab aBbA AB 同理可得，正弦公式：正弦公式：
5、 sinsinsin abc ABC 八、余弦定理八、余弦定理 如图 2：， ，在直角三角形 ABD 中，由勾股定理得：sinADbC cosBDBCCDabC 整理得： 2 22222 (sin)(cos)ABADBDcbCabC 2222222222 sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCbCCaabC 整理得到余弦定理：（C 为、的夹 222 2coscbaabC 222 2coscababCab 角） 同理可得：（余弦定理及其变形）同理可得：（余弦定理及其变形） 222 2cosabcbcA 222 cos 2 bca A bc 222 2cosbacacB 2
6、22 cos 2 acb B ac 222 2coscababC 222 cos 2 abc C ab 九、三角函数的高中定义：九、三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位 1） 如图 3， 同理可得：， 如图 4，也可以得到相同的sin y y r cosxtan y x cot x y 结论， 但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化， 从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。 3 D A B C 十、三角函数与相似：十、三角函数与相似： 图 5 3.2 4 6 E D C B A 如图 5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解： 3.2 cos 610 ADABxx A
7、AEAC sin DEBC A AEAC 如图 6， 6 tan 48 DEBCx A AEAB 备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些 十一、相似与直角三角形的射影定理：十一、相似与直角三角形的射影定理： 直角三角形射影定理：直角三角形射影定理： 2 CDAD BD 2 ACAD AB 2 BCBD AB 2 tantan CDBD ABCDCDAD BD ADCD 2 cos ACAD AACAD AB ABAC 2 cos BCBD BBCBD AB ABBC 十二、三角函数与一次函数十二、三角函数与一次函数 设一次函数经过点与那么我们可以列出方程组：ykxb 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 则可以得到： 如下图所示： 11 22 ykxb ykxb 21 21 yy k xx tank 8 6 4 D A B C E 图 6 y2-y1 x2-x1 y2 y1 x2 x1 B(x2,y2) A(x1,y1) O 4
