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1、1,代数结构,2,代数结构部分,第5章 代数系统的一般性质 第6章 几个典型的代数系统,3,第5章 代数系统的一般性质,5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统及其子代数和积代数 5.3 代数系统的同态与同构,4,5.1 二元运算及其性质,二元运算定义及其实例 一元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 交换律、结合律、幂等律、消去律 分配律、吸收律 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元,5,二元运算的定义及其实例,定义 设 S 为集合,函数 f：SSS 称为 S 上的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (
2、2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 为 S 上二 元运算.,6,二元运算的实例（续）,(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算.,7,一元运算的定义与实例,定义 设 S 为集合，函数 f：SS 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求
3、相反数 (2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元 运算: 求倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算 (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反 函数 (6) 在 Mn(R) ( n2 )上，求转置矩阵,8,二元与一元运算的表示,算符：, , , , 等符号 表示二元或一元运算 对二元运算 ，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy = z； 对一元运算 , x 的运算结果记作 x 表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表 注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符,9,公式表示 例3 设 R
4、 为实数集合，如下定义 R 上的二元运算 ： x, yR, x y = x. 那么 3 4 = 3 0.5 (-3) = 0.5 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）,二元与一元运算的表示（续）,10,运算表的形式,11,运算表的实例,例4 A = P(a, b), , 分别为对称差和绝对补运算 （a,b为全集） 的运算表 的运算表,12,运算表的实例（续）,例5 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , , 分别为模 5 加法与乘法 的运算表 的运算表,13,二元运算的性质,定义 设 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x y = y x, 则称运算在 S 上
5、满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z S 有 (x y) z = x (y z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x S 有 x x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律.,14,实例分析,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.,15,二元运算的性质（续）,定义 设 和 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, zS 有 (x y) z = (x z) (y z) z (x y) = (z x) (z y) 则称 运算对 运算满足分配律. (2)
6、如果 和 都可交换, 并且 x, yS 有 x (x y) = x x (x y) = x 则称 和 运算满足吸收律.,16,实例分析,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2.,17,二元运算的特异元素,单位元 定义 设为S上的二元运算, 如果存在el（或er）S，使得对任意 xS 都有 el x = x ( 或 x er = x )， 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 运算的 左 ( 或右 ) 单位元. 若 eS 关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为 S 上关于 运算的 单位元. 单位
7、元也叫做 幺元.,18,二元运算的特异元素（续）,零元 设 为 S 上的二元运算, 如果存在l（或r）S，使得对任意 xS 都有 l x =l ( 或 x r =r )， 则称l ( 或r )是 S 中关于 运算的 左 ( 或右) 零元. 若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为 S 上关于运算 的 零元.,19,二元运算的特异元素（续）,可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算的单位元. 对于 xS，如果存在yl（或 yr）S 使得 yl x = e（或 x yr = e）， 则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ). 关于 运算，若 yS 既是 x 的左逆元又是
8、 x 的右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.,20,实例分析,21,惟一性定理,定理 设 为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于 运算的惟一的单位元. 证 el = el er = el er = er 所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e 也是 S 中的单位元，则有 e = e e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元.,22,惟一性
9、定理（续）,定理 设 为 S 上可结合的二元运算, e 为该运算的单位元, 对于 xS 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr , 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆元. 证 由 yl x = e 和 x yr = e 得 yl = yl e = yl (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr 令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元, 则 y= y e = y (x y) = (y x) y = e y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元，记作 x
10、1.,23,消去律,定义 设为V上二元运算，如果 x, y, zV， 若 x y = x z，且 x不是零元，则 y = z 若 y x = z x, 且 x 不是零元，则 y = z 那么称 运算满足 消去律. 实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律. Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于 模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律.,24,例题分析,解 (1) 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任
11、取x, y, zQ, (x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,例6 设 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 运算的单位元、零元和所有可逆元.,25,给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此当 x 1/2时， 是 x 的逆元
12、.,例题分析（续）,(2) 设运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元.,对于任意 x 有 x = 成立，即 x+2 x = x + 2 x = 0 = 1/2,26,例题分析（续）,例7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.,解 (1) 满足交换、结合律； 满足结合、幂等律； 满足交换、结合律.,(2) 的单位元为 b, 没零元， a1 = c, b1 = b, c1 = a 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素. 的
13、单位元为 a，零元为c, a1=a. b, c不可逆.,27,例题分析（续）,例8 设 A = a, b, c , 构造 A 上的二元运算* 使得 a*b =c, c*b = b, 且*运算是幂等的、可交换的，给出关于*运算的一个运算表，说明它是否可结合，为什么？,c,b,根据幂等律和已知条件a*b =c, c*b = b 得到运算表,根据交换律得到新的运算表,方框 可以填入a, b, c中任一选定的符号,完成运算表,不结合，因为 (a*b)*b = c*b = b, a*(b*b) = a*b = c,28,由运算表判别算律的一般方法,交换律：运算表关于主对角线对称 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致 消去律：所在的行与列中没有重复元素 单位元: 所在的行与列的元素排列都与表头一致 零元：元素的行与列都由该元素自身构成 A 的可逆元：a 所在的行中某列 (比如第 j 列) 元素为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个元素互逆 结合律：除了单位元、零元之外，要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立,
