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1、1.1 变化率与导数,1.1 .1变化率问题,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,问题导入,播放,暂停,停止,5,思考：,6,新授：,一、函数的平均变化率,注：,那么，函数的平均变化率还可以表示为：,直线AB的斜率,A,B,二、函数的平均变化率的几何意义,例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ；,(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。,(1)解： y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2,(2)解： y=f (x+x)- f
2、(x) =2x x+(x )2,练习,1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x,D,3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.,A,小结,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：,12,1.1 变化率与导数,1.1 .2导数的概念,13,探究一：,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2
3、+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,14,15,探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ， 所以，,虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态,16,瞬时速度.,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。,又如何求 瞬时速度呢?,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,17,探究二：,18,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.00
4、1时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,19,20,那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?,21,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,注：,22,设函数f(x)在x0处可导，则 () Af(x0)Bf(x0) Cf(x0) Df(x0),
5、C,例,23,跟踪训练,1.,24,2设f(x)在x0处可导，下列式子中与f(x0)相等的是(),B,25,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值,一差、二比、三极限,26,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,典例分析,27,28,29,小结,由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率 （3）求极限,3
6、0,想一想 1.(1)x0 x一定比x0大吗？ (2)导数yf(x)从x1到x2的平均变化率一定存在吗？ (3)导数yf(x)在x0处的瞬时变化率一定存在吗？ 提示：(1)不一定x是一个相对于x的变化量，可正可负,但不能为0. (2)一定存在因为x1，x2属于导数的定义域且x1x2. (3)不一定当且仅当yf(x)在x0到x0 x的平均变化率的极限存在时，函数yf(x)在x0处的瞬时变化率存在,31,1.1 变化率与导数,1.1 .3导数的几何意义,32,33,探究：,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为
7、C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,斜率!,34,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,35,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,切线定义：,36,要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有
8、切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.,切线定义解析：,37,导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,即:,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,38,39,40,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,41,42,43,44,跟踪训练
9、 求曲线f(x)x22x1在点P(1，f(1)处的切线方程.,45,46,47,【名师点评】求切点坐标可以按以下步骤进行： (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标,48,49,易错警示 求曲线的切线方程中“过”“在”不分致误 过点P(1,1)作曲线yx3的切线，求此切线方程 【常见错误】由于P(1,1)在曲线yx3上，认为切点是(1,1)从而得切线方程为3xy20.而忽略过P(1,1)的切线与曲线还有其他切点,题型三求曲线过某点的切线方程,50,51,【防范措施】关于求切线问题有两类：一是求在某点处的切线，此点就是切点；二是求过某点的切线，此类问题不论这个点是否在曲线上，这个点都不一定是切点，一般要设出切点求解,52,名师点评：,53,54,
