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1、一维不定常流与冲击波-笔记 讲师：程军波九所 教材： 一维不定常流与冲击波李维新 编 一维不定常流动力学教程卢芳云 编 一维不定常流体力学周毓麟 编 课程内容： 第一章 流体动力学方程组：流体、状态、伯努利方程等 第二章 特征线：处理一维问题，黎曼不变量 第三章 简单波：稀疏波、压缩波 第四章 冲击波 第五章 自模拟运动 第六章 爆轰波 第一章流体动力学方程组 1、拉格朗日方法：关注流体质点，给出每个流体质点自始至终的运动过程，即 他们的位置随 时间变化的规律。 欧拉方法：关注 空间节点上 流体运动变化情况。如果所有空间节点的变化情 况都知道了，整个流体的运动状况就清楚了。 2、爆轰过程是快过
2、程，不同的组分来不及通过扩散产生扩散流，即流项中的扩 散流部分可以忽略不计， 各组分都只有相同的宏观速度， 于是质量守恒方程： i iiiii uumw t其中， 0 ii u 爆轰力学方程： i iii umw t 3、含有 粘性的流体动量方程： 纳维-斯托克斯 方程 NS方程， 不考虑粘性 的流体，既是 欧拉方程 Euler Equation； 4、局部热动平衡：考虑的系统在每一个宏观小、微观大的局部区域中都达到热 动平衡。 理想气体：是指粒子之间的相互作用很微弱，可以忽略不计。 多方气体：当理想气体的比定容热容 V c 为常数时， 0, dQ QU dt 0, QQQQ uvwQU tx
3、yz 5、动量和能量方程：能量 =动能+内能+势能； A-动量方程： u uuF t 动量密度：u动量密度的源：F 运流： 即随质点运动带走的动量密度流uu 扩散流 ：介质中的应力张量导致动量的扩散，因此，表面上将产生流过该面 的扩散流： 动量密度的流：运流和 扩散流：juu 扩散流解析： , pI pI 对角部分，弹性应力 耗散应力 非对角部分， 粘性应力、应力偏量 B-能量方程： 2 1 ,:;: 2 EeuPotential energy e inernal energy 当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能； E Ep uquRFu t 能量密度 ： 21 , 2 EEeu 能量的
4、源 两部分：本身释放的能量、外力做功RF u 总能的流 ： 运流： 随质点运动带走的 Eu ， 能量流 ：热传导在单位时间内流过单位面积的能量流q， 做功：应力单位时间内在单位面积上所作的功：upIuu， 能量流项：运流+ 扩散流(能量流 +做功 ) jEuqpIuuEp uqu， 一般情况下，介质的内能增量有以下几部分： （1） 、周围介质对本介质做的压缩功， （2） 、外界对介质输入的热量； （3） 、介质表面上应力做的功；（4） 、介质本身释放的能量。 三大守恒方程组： 6、热力学方程 热力学第一定律：有能量守恒给出。包含能量传递方式。dedQpd 熵：指体系的混乱程度。热能除以温度所得
5、结果，标志热量转化为功的程度。 dSdQ T 热二定律：俗称，熵增定律。 热力学的几个定律： 热力学第零定律： 两个热力学系统每一个都与第三个处于热平衡，那么它们也必 定处于热平衡。 热力学第一定律：能量守恒定律，内能等于热传导和做功； 热力学第二定律：熵增加原理； 热力学第三定律：绝对零度时，所有纯物质的熵值都为零； 内能、焓、自由能、吉布斯自由能： ; ; ; ; ; eQWhep deTdSpddhTdSdp FeTSGhTS dFSdTpddGSdTdp 比焓的意义： 在等压过程中比焓的变化等于系统所获得的能量；在等压的绝热过 程中比焓不变； 自由能的意义：在等温过程中，外界对系统所做
6、的功全部用于增加系统的自由能； 在等温过程中，通常取自由能热力学函数； 7、状态方程 比定容热容、比定压热容： , Vp p QQ cc TT 声速： 2 S p c理想气体的声速： ,pRT 2 T STS pp dpddT T pppT c T 几类状态方程： A-理想气体：,pRT 理想气体只是温度的函数；,ee T B-多方气体： 00 ,0, VV eC TdeC dTeT 内能与温度成正比， 2 , S pp cRT C-凝聚介质： 8、凝聚介质： 凝聚介质的小扰动传播速度即声速，与气体的不同， 他与温度无关， 而是有介质 的弹性压缩率决定。 凝聚介质的特性 其状态方程，包含两部分
7、，温度低和温度高时的情形， 内里包含 弹性的特性， 后续在利用时可以参照此处关于状态方程的信息。 9、伯努利方程： 定常绝热运动的方程 11 0, 2 1 2 0 1 uupu uhuu uuu uuu Dueto Adiabatic process dS dhTdSdp 由于矢量积垂直于速度，故它在流线切线方向上的投影为零，于是可得： 222221 ; 2 qhconstqu uuvw 第三次作业第一题的解题过程： 00 000000 0000 1 ; 1 11 ;lnln; 11 211 1;,2;,; 172 ;22 f C ffww fww CC www R dedWdqdepdVdq
8、 dTRTdh RdT T hdTdhTTTT ChVVpRTpRT TTTpRTpRTRTR T 0 ; C ww pRT 10、间断面及其关系 在 粘性流体和热传导 中，流体之间有 内摩擦和热量的传递 ，即耗散效应， 致使各物理量随时间及位置的变化是连续的， 在理想流体 中，忽略粘性和热传导，物理量的变化可能出现间断； 考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型 的， 不考虑耗散效 应的理想流体方程组是 双曲型 的； 接触间断面 ：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 12nn Duu 时，没有质量流穿过间断面； 满足的条件： 12 12 , , nn uu pp 法向速度连续： 两
9、侧压强相等： 第二章特征线 1、小扰动波动方程： 0 0 0 0 22 000 2 00 0 0 int o 1 0 , int:0 :, SS tua tuppp utpb utuup pp pSpSpcc p c substituteo acud t Dueto u bp 0 2 22 0 2 int:. t andfo dcgEq t 波动 2、求解一维平面的波动方程，给出波的形式： 22 2 010201020 22 00 01020 0 10202 00 , 1 cFxc tFxc tufxc tfxc t txx fpcfxc tfxc t t cpfxc tfxc t cc 给出
10、初始条件，可以求出函数 1020 fxc t and fxc t 的解。 3、求解球面声波： 20 222 2 0 2 22 0 0 0 0 0 : r u trrc r cutrrr tr frc t The form of thesolution s results r 相比于平面波，球面波的区别： （1） ：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径r 的增大而衰减； Reason ：初始给扰动的能量有限、 确定的，在传播过程中， 扰动的物质增多 (或 表面积增大 )，导致强度降低； （2） ：对动量方程作用，并积分时间项，得到： 00 0 0000 22 00 r c tr c t
11、 fdfd f rctcc u rrr 其中，多出的后一项的差别。 平面波中 ，波传播之处压力密度增加，通过后，恢复初始值0,0u，波区 域内的物质都是受压缩的； 球面波中 ，波通过之后介质要恢复为静止，不仅0，还要求速度的第二项为 零。因扰动中物质受压， 一部分区域的密度0，则必有一段区域0，即： 球面声波的受压区域后面必定跟随一个稀疏波。 4、特征线 有小扰动时，特征线存在；静止区域内，也可以通过偏微分方程给出特征线； 5、绝热运动的特征方程 2 1 0 1 0 0 11 00 00 p SS ddpdSdpdp pSpc dS dt puup u ca u ctxcx txx uupuu
12、p uub txxtxx SSSS uuc txtx 1212 1212 0,1, 1 0 0,1, 1 0 ,0 dx abuc dt uupp ucuc txctx dx abuc dt uupp ucuc txctx dxdS uc dtdt 依赖域：某一时刻，两特征线在X 轴交点的线段； 影响域：在 X-t 区域中，两特征线之间的区域； 稳定性条件 (Courant条件)： 在数值计算中，时间步长与空间步长的关系： x t uc 6、特征线的性质 （a） 、在连续流动区域中，同族特征线不相交；若相交，则此处将会出现间断； （b） 、弱间断只沿特征线传播； （c） 、相邻的不用类型流动区
13、域的分界线是特征线； 第三章简单波 1、定义：某一流动的一族特征线上的黎曼不变量是同一个常数，即各特征线上 的黎曼不变量是相等的，称为简单波。 若管道内气体的初始状态是均匀的，则沿 x 轴有 0和0，于是进入扰动 区中的整族 C 族特征线上为同一值 0，扰动区域的流动是简单波。 故：简单波有一族特征线是直线。在波区中， 0 , x t 0 0 , , dx Cucd dt Cxt 族特征线： 因每条的斜率都为常数，故： 2、简单波的一般形式： 两类方法求解：特征线法、流体动力学方程； (1)-特征线法 ： 00 0 =const , =, , dx ucxt dt dp uul ccc uuc
14、u c xuc tuuc utuuu x t ， 进而可以求出压强、密度、声速等的信息；反之，亦可以求出。 (2)-流体动力学方程 ： 有第二章第 5 问题给出： 1 0,1 1 0,2 1 ,0 111 =+=+ 1 const= uupp ucuc txctx uupp ucuc txctx ppccpcc pdudp c upu udpdp ctctttc udp c 因等熵，全微分 ， 因此，针对的简单波， , 21+=0, , cc u uu uc tx ufxuc torxuc tF u =const ， 自动满足，式 由此得出简单波是单向行波。 简单波的直线族特征线，都有一个共同
15、的起点，即 0 xx ，这样的简单波叫做中 心简单波。 3、向前和向后波 向前波：若波的传播速度大于质点的速度，则流体质点将从x 大的一边， 即右边 进入波动区；uc u。 反之，为向后简单波。ucu , =const , xuc tF u C dp uconst c 族特征线为直线， , =const , xuc tF u C dp uconst c 族特征线为直线， 4、稀疏波和压缩波 穿过简单波时，若流体的密度和压强增大，则称压缩波；直线特征线聚拢； 若流体的密度和压强减小，则称稀疏波；直线特征线分散； 理想气体的简单波： 2 , 1 d pc l c c 5、简单波性质： (1)、简单
16、波中有一族特征线是直线； (2)、简单波是单向行波； (3)、简单波的传播速度随流体质点速度的增大而增大，反之亦然； (4)、因常态区的边界是特征线，故与常态区毗邻的区域中的等熵流动，必定是 简单波； 完全稀疏波：气体与活塞脱离，稀疏波使得气体出现自由面，并达到逃逸速度， 此时的压力和密度降低为零，气体所内稀疏到的最大程度，就称为完全稀疏波； 6、一维等熵流动的通解 高压气体推刚体的运动： 无限长管道的情况； 有限长管道的情况； 有限长管道开口的情况； 采用稀疏波特性，对其进行逐个分析； 第四章冲击波 1、冲击波：在宏观上表现为一个高速运动的高温、高压、高速度曲面，穿过该 曲面时介质的压力、密度、温度等物理量都发生急剧的变化，即突变。 冲击波具有一定的厚度 ，在这个厚度区间内各物理量发生迅速的变化，虽然 变化急剧，但实际上仍是 连续的；这是因为，实际的物质具有 粘性和热传导 ，其 耗散效应 保证了物理量变化的连续性。 然而， 数学上忽略了粘性和热传导等，故才是间断的； 冲击波，不关心小区间内物理量的变化情况，将此作为一个数学
