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1、从变换视角提高识图能力 思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系。从关节四我们已经知道，许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也是同样具有“变换”形式的联系。本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对成关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）。这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形）
2、，有着极为重要的启发和引导的作用。 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别与构造的眼力。一、从“轴对称”视角识别图形与构造图形1、当题目的基本背景是轴对称图形时（1）当背景图形是基本的轴对称图形时等腰三角形（包括等边三角形）、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等基本图形都是轴对称图形，有关这些图形的许多问题恰是由这种轴对称性衍生出来的。这时，相应的对称性就正好昭示着问题的实质并暗示着解决的途径。例1 如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA，PD分别交线段BC于点E，F且PA
3、=PD。ADBCPEF（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。【观察与思考】注意到点P向AD所作的垂线，既是等腰梯形ABCD的对称轴，也是等腰三角形PAD的对称轴，即整个图形是该垂线为轴对称的。因此，凡是是此直线（虽然没有明确地画出来）为对称的两个三角形，都必然是全等的。解：（1）；（2）下面就给出证明。又即为等腰三角形，。在中，所以。【说明】可以看出，在证明两个轴对称的三角形全等时，用轴对称的方式寻找和叙述全等的理由，既规则有序，又简捷易行。（2）当背景图形是复合式的轴对称图形时有的题目，背景图形比较复杂些，但它仍是轴
4、对称图形，这时对问题解决的思考，也要特别注意从这一轴对称性入手。例2 已知，如图（1），。试以图中标有字母的点为端点，连结出两条新的线段，如果你连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明。ACEFDB【观察与思考】容易看到并推知：整个的图形是以A，F两点所在的直线为轴对称的，其中，D和B，C和E分别为对称点，连结出所有可连结的线段，如图（1），并设AF和BD交于点M，和EC交于点N，根据轴对（1）称的性质可知有：解：如图（1），连结DB，DC，BE，CE，连结AF交DB于点M，并延长交CE于点N，有结论：ACEFDBMN。证明如下：（1）在中，。，。在中，。为的垂
5、直平分线，当然有，与上同理，可推得（即），。【说明】正是把握住了本题背景图形的轴对称这一核心特征，使我们对问题有了最本质的认识，而后的诸项问题，都沿这一核心特征被发现和解决。（3）沿着背景图形的轴对称性寻找需要添加的辅助线 当题目的背景图形是轴对称图形时，如果需要作辅助线才能解决，那么辅助线的作法也往往是为了更好地揭示和利用这种轴对称性。例3 已知，如图（1），在梯形ABCD中，AD/BC，E为梯形内一点，且有EA=ED，EB=EC。ABCDE 求证：四边形ABCD是等腰梯形【观察与思考】根据图形所给的条件，可以知道整个图形应是轴（1）对称图形，其对称轴就是过点E且和AD垂直的直线，因此，以这
6、条对称轴为辅线，通过具有轴对称位置的三角形全等，来推得AB=DC。证明：过点E作直线，分别交AD，BC于点，如图（1）。根据已知，也有。ABCDEMN在等腰三角形中，；在等腰三角形中，在中， 。又知为等腰梯形。【说明】在本题，是图形的轴对称性启示我们作上述的辅助线，使得解法简单明快。2、当题目的基本背景不是轴对称图形时，应善于发现和运用其中的轴对称成分 有的题目，整个背景图形不是轴对称图形，但某个或某些部分却具有轴对称性，如果我们善于并在局部恰当运用这一对称性，也会帮我们更快更好地获得解决方法。例4 将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图（1），得到两张三角形纸片（如图（2），再将这两张三角形纸片摆
7、放成如图（3）的形式，使点B，F，C，D在同一条直线上。（1）求证：；（2）若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。APEMNBFCD（1）（2）（3）【观察与思考】对于（1），很容易推得结论；对于（2），根据题目的条件和图（3）的构成方式，可以看出它有以下的特征：在图（3）中，（即在题目的图（3）中去掉EP，EF这两条线段后剩下的部分），它是关于BN所在的直线为对称的（A）PEM（N）BF（C）DAP（E）（M）NB（F）CD（由可保证），由此得到关于BN对称的三角形全等，即有：。（3）（3）在图（3）中，（即是题目的图（3）中去掉AP，AC这两条线段后剩下的部分），它是关于
8、直线为轴对称的（由可保证）。由此得到关于对称的三角形是全等的，即有：。实际上，（2）的证明已包含于以上的分析之中了。解：（1）证明：，。（2）若，则有，理由是，图中与此条件有关的全等三角形还有以下几对：；【说明】由本题可以看出，从变换的视角认识和研究图形，会对图形看得更深刻、更全面、更多维、随之，解决的办法也就能更顺利地找到。例5 如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点也是BD的中点）按顺时针方向旋转。（1）如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，
9、FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想。ABCD（G）（E）（F）O（2）若三角尺GEF旋转得到如图（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立；请证明；若不成立；请说明理由。ABCDGOEMFNABCDGOEMFN（1）（2）(3) 【观察与思考】实际上，问题所涉及到的条件和结论，都与CD，CB两边没有关系，原题相当于两个全等的等腰直角三角形，从完全重合的位置将其中一个绕“斜边中点”旋转，那么，图（2），图（3）对应的就是下边的图（2），图（3）。ABDGOEFNMP 图（2）和
10、图（3）中，每个图形都是以直线PO为对称的，当然，对称的三角形是全等的，对应的线段和对应的角分别是相等的。（2）简解：（1），根据是（见图（2）在和中， 。ABGOEFNMPD（2）的结论仍然成立，根据是（见图（3）在和中，。（3）【说明】在本题的分析与思考中，从图（2）到图（2）（同样，由图（3）到图（3），舍弃了无关的部分图形，更清晰地显示出了“轴对称”的本质特征，而这一特征的被发现和捕获，使得对结论的猜想的形成，及至证明的得到及论述，都变得豁然明朗，顺理成章了。顺便指出：对任何一个 原本的轴对称图形，绕其对称轴上一点旋转角（），那么，由旋转前和旋转后两图形成的新图形，都是一个新的轴对称图
11、形。如：在图（1）中，等腰三角形ABC绕其顶点A逆时针旋转角到，相交于G，则组合起的新图形是以AG为轴的对称图形，在图（2）中，等腰三角形ABC绕其底边上的中点H逆时针旋转角到，相交于点K，则组合起的新图形是以KH为轴的对称图形。ABCHHCKHABCG（1）（2）因此，轴对称图形在一些适当的的旋转下，可以产生新的轴对称图形。由以上两例可以看出，在复合图形中抽取出轴对称部分，常对问题的解决有着非常重要的作用。3、图形的折叠与轴对称对图形进行折叠，其被折叠的部分，在折叠前与折叠后的图形是关于折痕所在的直线对称的。有关对图形折叠问题的考查，主要侧重在两个方面：一个方面是沿着折叠与展开进行考查，实际
12、上是考查对“折叠”的轴对称意义的理解；另一方面是侧重于“折叠”所造成的图形形状关系及数量间关系的考查。（1）“折叠”与相应的“打开”都是轴对称操作例6 将一张菱形纸片，按图（1），图（2）的方式沿虚线依次对折后，再沿图（3）中的虚线剪开，最后将图（4）中的纸片打开铺平，所得的图案应该是（ ）ABCD【观察与思考】看题目所述的对图形的操作过程：第一步两个“折叠”过程（见下边的图）由图（1）到图（2）反映的是，关于DB轴对称；由图（3）到图（4）反映的是关于CO轴对称；第二步是在“折叠”成的最后图形（3）中剪出图（4）第三步将原图（4）打开平铺，实际上是在图（4）的基础上做与第一步相反的两次轴对称
13、图形；即由图（4）作轴对称到图（2），再到由图（2）作轴对称到图（1）ABCDOBCDAABCDO（1）（2）（3）（4）（2）（1）解：应选A【说明】这类折叠、剪切、打开铺平的问题都可如上程序式地予以解决。（2）图形折叠造成的全等和相似更多的图形折叠问题，是围绕有关图形的形状、位置和数量关系进行研究的，解决的思考要点，可归为这们三个方面：第一方面，搞清原图形的特征；第二方面，被折叠部分和它落下生成的部分的全等关系；第三方面，由此形成的新图形与新关系。ABDCEF例7 如图，矩形ABCD中，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在E点处，且CE与AB交于点F，求AF的长。【观察与思考】原图形为矩形，由折叠知，并有。这样，在中，通过勾股定理构造关于AF的方程可求得其长。解：在。在中，即 也即解得。【说明】“折叠”问题的解决，其要点是在对原图和折叠准确把握的基础上，选择并利用好所形成的新图形的特征和数量。二、从“旋转变换”视角识别图形与构造图形要在图形相关问题中恰当而及时地运用“旋转变换”的性质，最根本的是要搞清楚哪些基本图形、哪些复合图形、哪些指定条件的图形是和“旋转变换”相关的，又是怎样相关的，掌握了这些内在的特征和规律，才有利于将“旋转变换”的性质运用到新的问题情景中去。
