层次分析法教学案例

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1、医药信息分析与决策,第六章 层次分析法,例 某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，你会如何决策？,假定有n个物体, 它们的重量分别为 W1、W2、，Wn，并且假定它们的重量和为1个单位，即 。 两两比较它们之间的重量很容易得出判断矩阵：,从上式不难看出，以个物体重量为分量的向量是判断矩阵的特征向量。根据矩阵理论，为上述矩阵A的唯一非零的，同时也是最大的特征值， 而W是该特征值所对应的特征向量。,上面的例子显示，如果有一组物体需要估算它们的相对重量，而又没有称重仪器，那么可以通过两两比较这组物体相对重量的方法，得出每对物体的重量比值，从而形成判断矩阵，通过求解判断矩阵的最大

2、特征值和所对应的特征向量，就可以计算出这组物体的相对重量。同样，对于复杂的社会的、经济的以及管理科学等领域的问题，通过建立层次分析模型,构造两两因素判断矩阵，就可应用求解最大特征值和特征向量的方法，来确定出相应的各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性排序权值，以供决策使用。,应用这种分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，所谓判断一致性，即判断矩阵A有如下关系： aijaik/ ajk ; i,j,k=1,2,n 判断矩阵在满足上述完全一致性的条件下，具有唯一非零的、同时也是最大的特征值maxn(n为判断矩阵的阶数)。但是，在一般决策问题中，决策者不可能给出精确的Wi/Wj度量,只能对它们

3、进行判断估计。这样,实际给出的aij判断与理想的Wi/Wj有偏差，不能保证判断矩阵具有完全的一致性。因此,为了保证应用该分析法得到的结论基本合理，还需要对构造的判断矩阵进行一致性检验。,一、产生背景及方法特点 理论背景 在有关决策的研究中存在两种倾向：一是过分地依赖数学模型 ,其结果无法反映人的经验因素 ；二，过多的偏重于行为、逻辑、推理方面的研究和分析，没有能够定量描述因素之间的相关关系 。 这种背景下，Saaty教授在70年代中期提出了层次分析理论。 层次分析法（ Analytia1 Hierarchy Process， 简称AHP）,层次结构示意图,方法特点 在对问题充分研究后首先分析问

4、题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，如措施层、准则层（含子准则）、目的层等 。 把定性方法与定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。,二、层次分析法的基本原理,复杂的决策问题往往设计到许多因素，如社会、政治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效方法。 层次分析法的基本原理可归纳为层次的数学原理特征向量方法、递阶层次结构原理、两两比较标度与判断原理、层次排序原理。,1、层次分析法的数学原

5、理特征向量方法,2、递阶层次结构原理,一个复杂的无结构问题可分解为它的若干组成部分或因素。例如，目标、约束、准则、子准则、方案等,按照属性的不同把这些因素分组形成互不相交的层次，上一层次的因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系,具有这种性质的层次称为递阶层次。,例 某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下：,3、两两比较的标度与判断原理,判断矩阵的构成是，先给出递阶层次中的某一层因素，比如第 i层，以及相邻上一层(i-1层 ) 次中的一个因素Ak ,两两比较第i层的所有因素对Ak因素的影响程度，将比较的结果

6、以数字的形式写入一个矩阵表，即构成判断矩阵。,设B1，B2，Bn为i层的因素，则有判断矩阵如上表。 其中， bij表示对Ak而言，Bi对B j相对重要性的数值表现形式。 对于两两比较的比率采用什么标度，也即判断比率问题。层次分析法采用的标度是1-9标度法，如下表所示:,标度含 义 1表示两个因素相比，具有同样重要性。 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要。 5表示两个因素相比， 一个因素比另一个因素明显重要。 7 表示两个因素相比， 一个因素比另一个因素显得很重要。 9表示两个因素相比， 一个因素比另一个因素显得极其重要。 2，4，6，8上述两相邻判断的中值 倒数 因素i与j比较

7、得判断bij，则因素j与i比较的判断bji=1/bij。,4、层次排序原理,层次排序原理包括层次单排序、层次总排序和一致性检验理论。,（1）层次单排序原理,确定各层次中因素对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层次单排序。 层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B，计算满足 的特征根与特征向量，式中 为B的最大特征根，W为对应于的正规化特征向量，W的分量,即相应因素单排序的权值。其最常见的计算方法有和积法和方根法,和积法的具体步骤如下： 将判断矩阵经过每一列正规化 每一列经过正规化后的判断矩阵按行相加 对向量 正规化 所得到的W1、W2、Wn就是层次单排序权重,（2）

8、一致性检验原理,按照各因素重要程度、优先次序对比的内在规律，判断矩阵应该满足以下三个条件（称为“完全一致性条件”）。 对角线元素为1 右上三角和左下三角对应元素互为倒数 因素优先次序的传递关系,由于客观事物的复杂性，人们在分析问题时，认识具有片面性，要达到完全一致性是非常困难的。 一致性检验是根据矩阵理论来进行的，根据矩阵理论有公式 当判断矩阵具有完全一致性时， 为判断矩阵阶数。,为了检验判断矩阵一致性，需要计算其一致性指标CI 可以看出CI为零，具有完全一致性，CI越大，一致性越差。对复杂问题进行判断时，做到完全一致性比较困难，但是必须要有满意一致性。,何为满意一致性呢？为此，将CI与平均随

9、机一致性指标 RI进行比较，各阶RI值分别为 当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率，记为CR。当判断矩阵具有满意的一致性，即 否则就需要对判断矩阵进行调整。,（3）层次总排序及其一致性检验,计算同一层次上不同因素对总目标的优先次序称为层次总排序,为了评价层次总排序的一致性，需要进行与单排序类似的检验，称为 层次总排序的一致性检验 层次总排序随机一致性比率为： 类似地，当CR 0.10时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。,（3）层次总排序及其一致性检验,三、层次分析法的基本步骤,归纳层次分析法分析问题的

10、过程，大体上可分为以下五个步骤： （1）建立层次结构模型； （2）构造判断矩阵； （3）层次单排序； （4）层次总排序； （5）一致性检验。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。,层次分析法的优缺点分析,1.系统性的分析方法,2.简洁实用的决策方法,3.所需定量数据信息较少,优点,层次分析法的优缺点分析,1.不能为决策提供新方案,2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服,3.指标过多时数据统计量大，且权重难以确定,4.特征值和特征向量的精确求法比较复杂,缺点,判断矩阵中特征值与特征向量的近似算法：,1.和法 2.根法 3.幂法,1.和法,简要步骤： 1.列归一 2.行求和 3.列归一 4

11、.求出特征值,例： A=,列向量 归一化,行求和,列向量 归一化,2.根法,根法与和法计算步骤基本相同， 只是第二步中和法是“按行求和”，而在根法中是 “按行求积并开n次方” 公式变为,2.根法,简要步骤： 1.列归一 2.按行求积 并开n次方 3.列归一 4.求出特征值,例： A=,列向量 归一化,列向量 归一化,3.幂法,步骤： （1）任取一个与判断矩阵同阶正规化的初值向量，例如取,3.幂法,（2）计算,3.幂法,（4）对于预先给定的精确度，如果,则,为所求特征向量，转入（5）；否则，返回（2）。,3.幂法,（5）计算最大特征值,3.幂法,例： A=,现假设初始向量为,预先给定的精确度=0

12、.05,3.幂法,（2）,（3）,列向量归一化,（4）,0.566 0.333 0.05 ， 需返回第二步作进一步计算。,3.幂法,（22）,（32）,列向量归一化,（42）,各项差别均小于 0.05 ， 可进入第五步计算特征值。,3.幂法,(5),各种方法结果比较：,层次分析法的Excel计算方法,操作步骤： 1.作基本框架 2.输入数据 3.输入计算公式 4.得到并分析结果,层次分析法的Excel计算方法,例：购置一台新设备的层次分析考虑,Excel算法 公式举例,（1）列和计算公式 B10 = SUM（B7:B9） （2）归一化矩阵计算公式 H7 = B7 / B$10 （3）层次单排序

13、权重向量计算公式 L7 = AVERAGE（H7:J7）,Excel算法 公式举例,（4）加权向量计算公式 N7 = B7 * $L$7 + C7 * $L$8 + D7 * $L$9 （5）一致性计算公式 O7 = N7 / L7 （6）CR计算公式 O10 = (AVERAGE(O7:O9)-3)/2)/0.58,Excel算法 公式举例,（7）层次总排序公式 B39 = L7 ，C39 = L8 ，D39 = L9 B40 = L15 ，C40 = L16 ，D40 = L17 （8）层次总排序权重计算公式 H40=SUMPRODUCT(B39:D39,B40:D40),MATLAB 求

14、解,eig (A)求特征值及特征向量 inv (A) 求方阵的逆矩阵 rref(X)求矩阵X阶梯形的行最简形式,应用案例,案例一：某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，请对各种方法做出评价。,（1）层次结构图,（2）计算单一准则下元素的相对重要性,i. 第二层相对于第一层的判断矩阵 通过计算得判断矩阵的特征向量和特征值分别为： W=(0.105,0.637,0.258) max=3.039 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.

15、I.和C.R. C.I.=0.019 C.R.=0.0330.1 说明判断矩阵的一致性可以接受。,ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵,w31,W32,W33,w34,w35,（3）计算各元素的总权重,（4）结论,发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备 W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172) C.I.=0.028 R.I.=0.923 CR=0.030.10 计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说， 办技校是首选的方案。,案例二：运用AHP方法选择世界杯上场队员案例，本案例运用AHP方法，对中国男子足球队在世界杯比赛中应该首发出场的中后卫人选进

16、行决策,目标A 在世界杯比赛中取得好成绩； 准则C有四个 技术、心理、经验、伤病； 方案D（可供选择的球员） 范志毅、杜威、李伟峰、张恩华和徐云龙五位可踢中后卫的球员。,据此建立模型的递阶层次结构如下图,模型,构造第二层相对第一层的判断矩阵：,W=(0.398, 0.236, 0.167, 0.199) max=4.060 C.I.=0.020 C.R.=0.0220.1 判断矩阵的一致性可以接受,第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：,W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077) max=5.015 C.I.=0.017 C.R.=0.0150.1 一致性检验通过,W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066) max=5.018 C.I.=0.012 C.R.=0.011