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1、解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用 作者： 日期：“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理 在抛物线中，若直线与
2、抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.例1抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 解：，焦点在轴上. 设弦的中点M的坐标为.由得：，整理得：.所求的轨迹方程为.故选B.例2抛物线上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方
3、程是（ ）A. （） B. （） C. （） D. 解：由得，焦点在轴上. 设平行弦的中点M的坐标为.由得：，.在中，当时，.点M的轨迹方程为（）.故答案选A.例3（03上海）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是_.解：，焦点在轴上. 设弦MN的中点P的坐标为，弦MN所在的直线的斜率为，则由得：，从而.所求的中点坐标是.例4抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在 上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为.由得：，又点在圆上，解之得：或由得：直线与抛物线有两个不同的交点，0.m，或m0.故所求的抛物线方程为例5已知抛物
4、线上永远有关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围.解：设抛物线上A、B两点关于直线对称，且弦AB的中点为.根据题意，点P在直线上，.又，.由，得：，.又由，得：.点在抛物线的开口内，.解之得：.故实数的取值范围.例6. （05全国文22）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（）当时，求直线的方程.解：（），.设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.若直线的斜率存在，则其方程为，.由得：，.若直线经过焦点F，则得：，与相矛盾.当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物
5、线的焦点F.综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.（）当时，由得：.所求的直线的方程为，即例7已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_.解：，. 直线的斜率为1.由得：.代入求得.线段AB的中点坐标是.例8直线与抛物线交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标是2，则=_.解：，.在中，时，若PQ中点的纵坐标是.由得：，即.解之得：或.由得：.直线与抛物线交于不同的两点，解之得：且.由得：. 即.设，则.例9已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为，则抛物线C的方程为_.解：，.由得：.AB所在的直线方程为，即.例10
6、设为抛物线的弦，如果这条弦的垂直平分线的方程为，求弦所在的直线方程.解：设抛物线的方程为（m0）. 在中，斜率为，时，. 弦AB的中点M的坐标为.由得：，.所求的抛物线的方程为.例11过点作抛物线的弦AB，若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程为_.解：，. 弦所在直线的斜率为1. 设弦的中点坐标为.由得：.弦的中点也在直线上，.弦的中点坐标为.弦所在的直线方程为，即.例12已知抛物线上有不同的两点A、B关于直线对称，求实数的取值范围.解：设弦AB的中点为.根据题意，.又，.由，得：，.又由，得：.点在抛物线的开口内，.解之得：.故实数的取值范围.例13（05全国理21）设两点在抛物线上，是
7、AB的垂直平分线.（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（）当直线的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围.解：（），.设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.若直线的斜率存在，则其方程为，.由得：，.若直线经过焦点F，则得：，与相矛盾.当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.（）当时，由（）知，直线的方程为，它在y轴上的截距，.直线AB的方程为，即.代入并整理得：.直线AB与抛物线有两个不同交点，0，即0.故在y轴上的截距的取值范围是.例14(08陕西文理20) 已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.证明：（），设点M的坐标为.当时，点M在y轴上，点N与原点O重合，抛物线C在点N处的切线为x轴，与AB平行.当时，由得：. 得点N的坐标为.设抛物线C在点N处的切线方程为，即.代入，得：，整理得：.， ，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.故抛物线C在点N处的切线与AB平行.（）解：若，则，即.，.由得.设，则. 即.化简，得：，即.故存在实数，使.
