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1、学 海 无 涯 1 数学（理科）试题 第 1 页（共 6 页） 江门市 2020 年高考模拟考试 数学（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足i1) i 43(+=+z，则 z 的共轭复数z在复平面内表示的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数)(xf是幂函数，且满足3 )2( )4( = f f ，则 2 1 f的值为 A. 3 B. 3 1 C. 3 D. 3 1 3. 已知直线014)4( : 1 =+yxml和0
2、1) 1()4( : 2 =+ymxml， 若 21 ll ， 则实数 m 的值 为 A. 1 或3 B. 2 1 或 3 1 C. 2 或6 D. 2 1 或 3 2 4. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算 圆的周长、面积以及圆周率的基础. 刘徽把圆内接正多边形的面积一直 算到了正 3072 边形， 并由此而求得了圆周率为 3.141 5 和 3.141 6 这两个 近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据. 如图，当分 割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷 点，计算得出该点落在正六边形内的频率为 0.826
3、9，那么通过通过该实 验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：6094. 2 9826. 0 3 ） A. 3.141 9 B. 3.141 7 C. 3.141 5 D. 3.141 3 5. 已知命题01,: 2 +xxxpR；命题2cossin,:=+xxxqR，则下列判断正确的 是 A. p是假命题 B. q 是假命题 C. qp是假命题 D. qp )(是真命题 学 海 无 涯 2 数学（理科）试题 第 2 页（共 6 页） P F1 F2 Q O x y 6. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日
4、影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日 影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则小满日影长为 A. 1.5 尺 B. 2.5 尺 C. 3.5 尺 D. 4.5 尺 7. 下列四个命题：在回归模型中，预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一确定；若变量 x , y 满足关系11 . 0+=xy，且变量 y 与 z 正相关，则 x 与 z 也正相关；在残差图中，残差点分 布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；以模型 kx cye=去拟合一组数据时， 为了求出回归方程，设yzln=，将其变换后得到线性方程43 . 0+=xz，则3 . 0,e4=kc. 其中真
5、命题的个数为 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 已知二项式)( 1 2 Nn x x n 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2 : 5，则 x3的系数为 A. 14 B. 14 C. 240 D. 240 9. 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种 颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取 5 次球时停止取球的概率为 A. 81 5 B. 81 14 C. 81 22 D. 81 25 10. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁. 在某天的某个时段，他们每人各做一项工 作，一人在查资料，一人在写教案，
6、一人在批改作业，另一人在打印材料. 若下面 4 个说法都 是正确的：甲不在查资料，也不在写教案；乙不在打印材料，也不在查资料；丙不在批 改作业，也不在打印材料；丁不在写教案，也不在查资料此外还可确定：如果甲不在打印 材料，那么丙不在查资料根据以上信息可以判断 A甲在打印材料 B乙在批改作业 C. 丙在写教案 D丁在打印材料 11. 设 21, F F为双曲线)0,0(1: 2 2 2 2 =ba b y a x C的左、 学 海 无 涯 3 数学（理科）试题 第 3 页（共 6 页） 右焦点，QP,分别为双曲线左、右支上的点，若 12 2PFQF =且0 21 =PFPF，则双曲线的离 心率为
7、 A. 3 15 B. 3 17 C. 2 5 D. 2 7 12. 四棱锥 PABCD，AD面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD = 4，BC = 8， AB = 6，APD = BPC，满足上述条件的四棱锥顶点 P 的轨迹是 A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若 x , y 满足约束条件 + 04 0 01 yx yx x ，则 x y 的最大值为_. 14. 计算=+ xxxd)4(sin 2 2 2 _. 15. 若圆0722: 22 =+yxyxC关于直线0
8、4=+byax对称，由点),(baP向圆 C 作切 线，切点为 A，则线段 PA 的长度的最小值为_. 16. 已知函数|sin|xy =的图象与直线)0()2(+=mxmy恰有四个公共点),( 11 yxA， ),( 22 yxB，),( 33 yxC，),( 44 yxD，其中 4321 xxxx，则= + 4 4 tan 2 x x _. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分） 在BCA中，边 a , b ,
9、 c 所对的边分别是 A , B , C，已知ca ，BCA的面积为22， AAsin 3 2 sin)sin(=+CB，b = 3. (1) 求Bsin的值； (2) 求边 a , c 的值. 18. （本小题满分 12 分） P A B C D P D C B A 学 海 无 涯 4 数学（理科）试题 第 4 页（共 6 页） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PA = PD，ABAD， AB = 1，AD = 2，5=CDCA. (1) 求证：PD平面 PAB； (2) 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值. 19. （本小题满分 12 分）
10、已知动点 P 到直线2:=xl的距离比到定点 F (1 , 0)的距离多 1. (1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程； (2) 若 A 为(1)中曲线 E 上一点，过点 A 作直线l的垂线，垂足为 C，过坐标原点 O 的直线 OC 交曲线 E 于另外一点 B，证明直线 AB 过定点，并求出定点坐标. 20. （本小题满分 12 分） 已知函数axxxf x =sine)(. (1) 若)(xf在 4 ,0上单调递增，求实数 a 的取值范围； (2) 当1a时，求证：对于任意的 4 3 ,0 x，均有0)(xf. 21. （本小题满分 12 分） 2019 年 7 月 1 日到 3 日，世界新
11、能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业 的转型升级和生态环境的持续改善. 某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车， 并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电 池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试. 现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直 方图. (1) 估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点 值代表）； (2) 根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程 X 近似地服从正态 分布),( 2 N，经计算得第(1)问中样本标准差 s 的近似值为 50. 用样本平均
12、数x作为的近 似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率； 频率 组距 0.009 0.004 0.002 0.001 0 180 230 280 330 380 430 单次最大续航里程/千米 学 海 无 涯 5 数学（理科）试题 第 5 页（共 6 页） (3) 某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活 动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利 大本营”，则可获得购车优惠券. 已知硬币出现正、反面的概率都是 2 1 ，方格图上标有第 0
13、 格、 第 1 格、 第 2 格第 50 格. 遥控车开始在第 0 格， 客户每掷一次硬币， 遥控车向前移动一次， 若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 k 到 k + 1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从 k 到 k + 2），直到遥控车移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本营）时，游戏结束. 设 遥控车移到第 n 格的概率为 n P，试证明),491 ( 1 NnnPP nn 是等比数列，并解释此 方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. 参考数据：若随机变量服从),( 2 N，则7682. 0)(+P， 5954. 0)22(+P，3997. 0)33(+P. （二）选
14、考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. 22. 选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为)0(cossin 2 =aa，过点)4,2(P的直线 l 的参数方程为 += += ty tx 2 2 4 2 2 2 （t 为参数），直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点. (1) 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2) 若 2 |BPBPAA=，求 a 的值. 23. 选修 45：不等式选讲（本小题
15、满分 10 分） 已知函数)0(| 1 |)(+=a a xaxxf. (1) 当 a = 2 时，求不等式3)(xf的解集； (2) 若Rm，且0m，证明：4 1 )( + m fmf. 学 海 无 涯 6 数学（理科）试题 第 6 页（共 6 页） 学 海 无 涯 1 数学（理科）试题参考答案 第 1 页（共 7 页） 1 y x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 A B C D 江门市 2020 年高考模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C A D C C C B A B B 12. 【解析】AD平面 PAB，BC平面 PAB， AD/BC 且 ADPA，CBPB， APD = CPB CPBPD=tantanA PB CB P D = A A PB = 2PA 在平面 PAB 内， 以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 则)0,3(A， )0,3(B，设0, ),(yyxP，则)0()3(4)3( 2222 +=+yyxyx，即16)5( 22 =+y
