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1、【2019最新】精选高二数学下学期第一次段考试题4月试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列函数求导运算正确的个数为(3x)3xlog3e；(log2x)；cos ；x.A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是 A. B. C. D. 3. 已知函数 的导函数 ，若 在 处取到极大值，则 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为 A. B. C. D. 5. 已知曲线的方程为，给定下列两个命题：若，则曲线为椭圆； 若曲线是焦点在轴上的双
2、曲线，则那么，下列命题中，真命题是A. B. C. D. 6. 若函数 在 上是增函数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 设函数 有三个零点 ，且 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 8. 曲线 上的点到直线 的最短距离是 A. B. C. D. 9. 某堆雪在融化过程中，其体积 （单位：）与融化时间 （单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 那么，瞬时融化速度等于 的时刻是图中的 A. B. C. D. 10. 设函数 是奇函数 的导函数，当 时，则使得 成立的 的取值范围是 A. B. C. D. 11. 已知函
3、数，若且，则的取值范围是A. B. C. D. 12. 已设函数f(x)ex(2x1)axa，其中，若存在唯一的整数x0，使得，则a的取值范围是A. ，1)B. )C. )D. ，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 定积分 的值为 14. 已知三棱锥中，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为 15. 若直线 与曲线 相切，则 16. 是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题10分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为Vm2.假设建造成本仅与表面积有关，
4、侧面的建造成本为100元/m3，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大18. (本小题12分)已知经计算得，（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想19. (本小题12分)如图，在三棱柱 中，点 是线段 的中点（1）证明：；（2）若 ，求二面角 的余弦值20. (本小题12分)设函数 （1）若 ，求 的单调区间；（2）若当 时 ，求 的取值范围21. (本小题12分)已知椭圆 的离心率是 ，且过点
5、直线 与椭圆 相交于 ， 两点（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 ， 分别与 轴交于点 ，判断 ， 的大小关系，并加以证明22. (本小题12分)已知函数，其中设（1）若 在 处取得极值，且 ，求函数 的单调区间；（2）若 时，函数 有两个不同的零点 ，求 的取值范围；求证：答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的ADBBC DDACB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 14. 15. 16. 5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为
6、160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元，又据题意200rh160r212 000，1分所以h(3004r2)，2分从而V(r)r2h(300r4r3)4分因r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；8分当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数9分由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大10分18.（1） 由题意知，由此得到一般性结论：（或者猜想 也行）4分（2） 当 时，猜想成立5分 假设 时，结论成立，即 ，6分那么， 时， 7分9分10分所以当 时，猜想也成立11分由 可知，上述结论对
7、都成立，所以猜想成立12分19.（1） 连接AC1，交A1C于点M。连接OM，BC1。因为 棱柱的侧面是平行四边形，所以M是AC1的中点。又因为O是AB中点，所以 OM是ABC1的中位线，1分所以OMBC1。2分又因为OM平面OA1C，BC1平面OA1C，3分所以BC1平面OA1C4分（2）连接，因为 ，故 ， 都为等边三角形。因为O是AB中点，所以 ，。因为，所以OCOA1，A1C2OC2A1O2。所以OCOA1。所以 ， 两两垂直，5分以 为原点， 所在直线分别为x， 轴，建立空间直角坐标系，则 ，6分，7分设平面 的法向量 ，则 8分取 ，得 ，9分平面 的法向量 ，10分设二面角 的平
8、面角为 ，显然为锐角，故 11分所以二面角 的余弦值为 12分20. （1） 时， ，2分令 ，可得 或 ；令 ，可得 4分所以函数的单调增区间是 ，；单调减区间为 6分（2） 令 ，则 8分若 ，则当 时， 为增函数，而 ，从而当 时，即 9分若 ，则当 时， 为减函数，而 ，从而当 时，即 11分综合得 的取值范围为 12分21. （1） 设椭圆 的半焦距为 ，因为椭圆 的离心率是 ，所以 ，即 ，1分由 解得 3分所以椭圆 的方程为 4分（2） 证明如下：将 代入 ，消去 整理得 ，5分令 ，解得 ，6分设 ，则 ，7分设直线 ， 的斜率分别是 ，则 ，其中 10分所以直线 ， 的倾斜角
9、互补，所以 ，所以 ，11分所以 12分22. （1） 因为 ，所以 ，1分由 可得 又 在 处取得极值，所以 ， 所以 ，所以 ，其定义域为 ，2分令 ，得 ，当 时，；当 时，； 所以函数 的增区间为 ，减区间为 3分（2） 当 时，其定义域为 ，由 得 ，记 ，由题意得 与函数 的图象有两个不同的交点，4分又 ，5分令 ，且 ，得 ；令 ，且 ，得 ；所以 在 上单调递减，在 上单调递增；所以当 时， 取得最小值 ，6分又 ，所以当 时，而当 时，当 时，7分因为与函数 的图象有两个不同的交点，所以 的取值范围是 8分由题意得 ，所以 ，所以 ，则 ，不妨设 ，要证 ，只需要证 ， 即证 ，9分设 （），则 ，10分令 （），所以 ，11分所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，12分所以 ，即 11 / 11
