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1、电磁场理论基础,通信工程学院微波教研室 丁卫平,第三章 静态电磁场,静态场是电磁场理论的重要组成部分； 静态场的基本特性和解法为学习时变电磁场奠定基础。,研究静态场的意义,3.1 静电场,静电场：静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场。,静电场是一种相对状态，是时变场的极限情况。,一、静电场的基本方程和边界条件,在均匀、线性、各向同性媒质（简单媒质）中，基本物理量 和辅助物理量 之间满足本构关系： ，由此可以得出限定形式的基本方程：,一、静电场的基本方程和边界条件（续）,边界条件：,根据时变电磁场中边界条件的一般形式：,在静电场中：,一、静电场的基本方程和边界条件（续）,当媒质1为介质，媒质2
2、为导体时：,当媒质1、2均为介质时：,但,3）在任意媒质分界面上， 的切向分量连续,对于介质（1）和导体（2）分界面：,电力线垂直于导体表面，沿导体表面电场力不做功，导体表面为等位面。,一、静电场的基本方程和边界条件（续）,二、电位函数,电位函数是求解电磁场问题的辅助函数。,1、定义：,2、电位 的微分方程：,（静电场电位的泊松方程）,当 时：,（静电场电位的拉普拉斯方程）,3. 电位 的边值关系,二、电位函数（续）,在介质与导体分界面上：,此式经常用于确定导体表面的面电荷密度,在两种不同介质分界面上：,二、电位函数（续）,4、已知电荷分布情况下的 的表达式：,位于 点电荷q，空间任一点的电场
3、强度为：,利用矢量恒等式：,二、电位函数（续）,对于体分布、面分布、线分布电荷：,体分布：,面分布：,线分布：,二、电位函数（续）,三、电偶极子,由相距一个小距离 的等值异号的点电荷所组成的系统。,电偶极子的定义：,为了反映电偶极子的强度，定义：,电偶极矩,由负电荷指向正电荷,沿z轴放置、中心在坐标原点的电偶极子，空间任一点的电位为：,空间任一点的电场强度为：,（伏特）,（伏特/米）,三、电偶极子（续）,特点：,只有 和 分量，没有 分量，而且两分量与坐标 无关（轴对称）。,电位与距离的平方成反比，电场强度与距离的立方成反比。,如果电偶极子的中心不在坐标原点，而在空间任一点，其矢径为 ， 也不
4、平行于z轴，则空间任一点的电位函数为：,此处,三、电偶极子（续）,四、静电场的能量,离散分布电荷：,体分布电荷：,面分布电荷：,电场能量密度：,电场能量：,五、导体的电容,电容是导体的基本属性。电容的大小只与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体间介质的介电常数有关，与导体间所加电压无关。,对于双导体系统,例1：同心导体球壳，半径分别为a和b（ba）。在arb中充满介电常数为 的理想介质。设外球电位为零，内球电位为U0，求内外球之间的 和 。,例 题,例2、半径为 （米）的球内充满体电荷密度为 （库仑/米3）的电荷。已知球内外的电场强度为 求体电荷密度 （全部空间的介电常数均为 ）,例 题,3.1
5、.5 静电场计算,电磁场理论基础,已知电荷分布求电位或场强； 已知电位或场强求电荷分布； 电容的计算。,主要内容,一、已知电荷分布求场强,适用于已知电荷分布的具体形式，而且积分和求和比较容易的静电场问题。,1、直接法：,适用于已知电荷分布的具体形式，但直接积分和场强求和比较困难的静电场问题。,2、间接法：,一、已知电荷分布求场强,3、高斯定律：,一般适用于均匀带电的球体和球面问题、均匀带电的无限长圆柱体和圆柱面问题、均匀带电的无限大平面和无限长直线问题。,一、已知电荷分布求场强,4、求解泊松方程或拉普拉斯方程：,是求解静电场问题的经典方法。,一、已知电荷分布求场强,二、已知电位或场强求电荷分布
6、,1、静电场的基本方程（高斯定律）：,2、静电场的边界条件：,如果媒质2为导体，媒质1为电介质，则,3、电位函数的边界条件：,三、电容的计算,电容计算的一般方法：,1、假定,2、假定,例1、半径为 （米）的球内充满体电荷密度为 （库仑/米3）的电荷。已知球内外的电场强度为 求体电荷密度 （全部空间的介电常数均为 ）,例 题,例2、同轴线的横截面如图所示。设外导体电位 ，内导体电位 ，求内外导体之间任一点的 和 ，并求 处的束缚面电荷密度。,例 题,例3、一个有两层媒质 、 的平行板电容器，两层媒质都具有电导率，分别为 和 ，电容器极板面积为S。在外加电压U时，求通过电容器的（漏）电流和两层介质
7、分界面上的自由电荷密度。,例 题,例4、两个偏心球面之间均匀充满着密度为 （库仑/米3）的体电荷，如图所示。求小球中心上一个点电荷q所受的力。,例 题,例5、在电场中有一个半径为a的圆柱体。已知圆柱内、外的电位函数 和 （用柱坐标表示）是：,，A是常数，,求圆柱表面的面电荷密度,求圆柱面内、外的电场强度 和,例 题,3.2 恒定电流的电场,电磁场理论基础,导电媒质中恒定电流电场的性质,主要内容,一、恒定电场的基本方程和边界条件,1、基本方程,基本场量为电场强度 ，辅助场量为电流密度,本构关系：,电源外（ ），导体内（ ）：,2、边界条件,在通过不同的媒质分界面时， 的法向分量连续； 的切向分量
8、连续。,一、恒定电场的基本方程和边界条件,几种特殊情况,（1） （理想介质）， （导体）,的法向分量连续,媒质2中，在分界面上，电流只有切向分量；电场也只有切向分量。,既有法向分量又有切向分量。,不垂直于导体表面，导体表面不为等电位面，有电阻存在。,（2） （理想介质）， （理想导体）,为有限值、 为无穷大,在导体表面,恒定电流情况下，理想导体中的电场强度为0，导体表面为等位面，导体为等位体。,（3） （真实情况） 在工程计算中近似为情况（2）,几种特殊情况,二、电位函数,恒定电场中,在导体内、电源外、简单媒质中， 为常数,拉普拉斯方程,电位 所满足的边界条件：,三、恒定电场与静电场的比较,静
9、电比拟法：,对于结构相同的两个导体组成的系统,1、2 导体之间的漏电导：,上述方法可以用于传输线（同轴线、平行双导线），如果求出了单位长度的电容，利用上式可以直接写出单位长度的漏电导。,静电比拟法,四、绝缘电阻（漏电导）的计算,求绝缘电阻主要有三种方法：,(1)直接积分法,为沿电流方向的长度元，S为长度元上垂直电流方向的面积,(2)静电比拟法,(3)定义计算法,对于平行板电容器、同轴线、同心球等形状规则的问题：,假设I，,假设U，,四、绝缘电阻（漏电导）的计算,例1、一同轴圆柱形电容器，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，长为L，两电极间填充了电导率为 的物质。已知电极间的电压为U0,（1）
10、求填充物质中的电流密度和电场强度,（2）求由于漏电流所引起的功率损耗,若填充物质的电导率 ，忽略电容器两端的边缘效应，求电极间的电场强度。,（3）,例 题,例2、一扇形电阻片的电导率为 ，厚度为d， 如图所示。求：,（1）沿厚度方向的电阻,（2）两圆弧间的电阻,例 题,例3、计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻。同轴电缆的内导体（芯线）半径是a，外导体（外壳）半径是b，内外导体之间充满一种介电常数为 、电导率为 的绝缘材料。,例 题,3.3 恒定电流的磁场,电磁场理论基础,主要内容,一、恒定磁场的基本方程和边界条件,二、矢量磁位,三、磁偶极子,四、磁能与磁能密度,五、电感,一、恒定磁场的基本方程和边
11、界条件,微分形式,积分形式,安培环路定律的微分形式,安培环路定律的积分形式,对简单媒质， 和 之间满足本构关系：,限定形式的基本方程：,微分形式,积分形式,一、恒定磁场的基本方程和边界条件,边界条件：,在两种不同媒质分界面上：,在不同媒质分界面上， 的法向分量总是连续的;,当 时， 的切向分量是不连续的。,一、恒定磁场的基本方程和边界条件,二、矢量磁位,在恒定磁场情况下，令：,称为库仑规范,2、矢量磁位所满足的方程,磁矢位 的泊松方程,当 时：,磁矢位 的拉普拉斯方程,的边值关系：,二、矢量磁位,3、 在无界空间的形式解,可以通过 的表达式得出 的表达式,体分布电流在场点产生的 为：,利用矢量
12、恒等式：,二、矢量磁位,利用矢量恒等式：,二、矢量磁位,对于面分布电流：,对于细导线电流：,二、矢量磁位,三、磁偶极子,磁偶极子：一个小圆形电流线圈。,定义磁偶极矩:,利用细导线电流的磁矢位在无界空间的形式解: 求出磁偶极子的磁矢位，然后利用 求出磁感应强度矢量 。,四、磁能与磁能密度,磁能密度：,焦耳/米3,磁能：,焦耳,单一电流回路的磁场能量：,焦耳,五、电感,1、磁通和磁链,磁感应强度矢量 在曲面S上的通量 ，称为 在S面上的磁通,导线回路的磁链（全磁通） 等于各匝线圈交链的磁通之和,2、自感和互感,如果 （或回路2不存在），则得到回路1自感的计算式：,一般地，一个回路的自感可以表示为：
13、,为与I交链的磁链（全磁通）,五、电感,是回路1的电流 的磁场在回路2中所产生的磁链,如果 ，则互感,是回路2的电流 的磁场在回路1中所产生的磁链,同样，如果令 ，则,五、电感,自感分为内自感和外自感两部分,内自感 ：由穿过导体内部的内磁链得出的自感；,外自感 ：由穿过导体外部的外磁链得出的自感。,五、电感,1、求同轴线单位长度的自感（分布电感）,例 题,2、一半径为a 的无限长导体圆柱体内的电流密度 ，（ 为柱坐标变量， 为常数），设圆柱内、外的磁导率都是 ，试应用安培环路定律计算圆柱内、外任一点的磁感应强度。,例 题,3、平行双导线两根导线的直径均为d，两导线的轴线间距离是D，导线和周围空间媒质的磁导率都是 ，在 的条件下，求双导线单位长度的总自感。,例 题,4、设在xoy平面上有面电流 （安培/米）， 为常数。求空间任一点的磁感应强度,例 题,
