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1、1. 电场力、电场强度与电位,重点：,第2章 电场、磁场与麦克斯韦方程,4. 麦克斯韦方程的导出及意义,2. 磁场力、磁感应强度与磁位,6. 电磁场的能量与坡印廷矢量,3. 洛伦兹力,5. 电磁场中的三种电流以及电流连续性原理,2.1 电场力、电场强度与电位,1. 电场力,库仑定律,适用条件, 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,2. 电场强度,库仑定律还可以换一种方式来阐述： 假定电荷q=1C，于是电场力 即为q1对单位电荷的作用 力,我们将这个特定大小的电场力 称为电场强度矢量,由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示了电场力。,结论,如果电荷
2、是沿一曲线连续分布的线电荷,线电荷密度定义为,dq在空间产生的电场强度为,整个线电荷在空间产生的电场强度为,如果电荷是沿一曲面连续分布的面电荷,面电荷密度定义为,整个面电荷在空间产生的电场强度为,如果电荷在某空间体积内连续分布,体电荷密度定义为,整个体电荷在空间产生的电场强度为,3. 电位,已知试验电荷 q在电场中的受力为,在静电场中欲使试验电荷 q处于平衡状态，应有一外力与电场力大小相等，方向相反，即,于是，试验电荷q在静电场中由A点移动到B点时外力需做的功为,我们将静电场内单位正电荷从A点移动到B点时外力所做的功称为点B和点A之间的电位差,在自由空间，如果点电荷位于原点，原点到场点A的距离
3、为RA,原点到场点B的距离为RB ，则B点和A点之间的电位差为,积分表明，空间两点B和A之间的电位差只与场点所在位置有关，而与积分路径无关。,因此，在静电场中,可将下列左式改写成一个具有普遍意义的式子（右式）,得到空间一段线元上两端点间的电位差为,若单位正电荷是从无穷远处出发移到B点的，则电位差为,或写成,可得电位与电场强度的关系为,此式提供了求解静电场中电场强度的一种方法，即把求解电场强度的问题变成先求解电位而后再通过微分关系求电场强度。一般情况下，用这种方法比直接求解电场强度要简便。,由式（1.95）可知,2.2 磁场力、磁感应强度与磁位,1. 磁场力,当电荷之间存在相对运动，比如两根载流
4、导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力 。,假定一个电荷 q 以速度 在磁场中运动，则它所受到磁场力为,这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度 来描述。,2.磁感应强度,磁场的特征是能对运动电荷施力，其施力的情况虽然比较复杂，但我们可以用一个磁感应强度来描述它, 即将其定义为一个单位电流受到另外一个电流的作用力。,已知磁场力,考虑磁场中载流线元 的受力情况，由于,所以,如图：电流元 和 之间的作用力为,比较,可得,毕奥-萨伐尔定律,运用叠加原理，可得闭合回路1在空间所产生的磁感应强度,上式是计算线电流周围磁感应强度的
5、公式。磁感应强度的单位为牛顿/（安培米），在国际单位制中的单位为特斯拉。,3.矢量磁位,穿过某一曲面S的磁感应强度 的通量称之为穿过该曲面的磁通量,由毕奥-沙伐尔定律,根据梯度规则,上式中的被积函数变成,根据高斯定律,即,利用矢量恒等式,可得,因为,根据,根据库伦规范，有约束,可得矢量磁位,这表明整个积分为零，即,4.标量磁位,但在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为,这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数,注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。,即令,对于恒定磁场，安培环路定律 表明磁场是一个有旋场，在
6、有电流处磁场的旋度不为零。,当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。,我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的定义式。,即,2.3 洛伦兹力,重要特性：电荷在电场中会受到力(称电场力)的作用。,E 取决于源(带电体)的电量、形状及分布情况,它可以是时变的,点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础,电场,实验证明：电场力大小与电荷所在位置的电场强度大小成正比，即：,重要特性：在磁场中运动的电荷(电流)会受到力(称磁场力)的作用。,磁感应强度矢量B:描述空间磁场的分布(大小和方向)。,B的方向由磁场力和速度的方向确定。,B 取决于源(带电体)的电量
7、、形状及运动分布情况,磁场,2.6 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程,凡是矢量场，均有通量可言。电力线的数目就称为电通量 。,规定,一个电荷q所产生的力线条数（即电通量）等于用库仑表示的电荷的大小。,用符号 表示球面上的电通量密度，即,于是，通过整个球面的电通量为,电通量密度与电场强度的关系为,根据高斯定律,可得麦克斯韦第一方程 ：,或,若闭合曲面所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应改写为,并且,电场强度 穿出球面的电场强度通量为,2.7 由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第二方程,法拉第电磁感应定律,可得麦克斯韦第二方程 ：,感应电动势,闭合路径所包围的磁通,根据斯托
8、克斯定律,2.8 由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程,磁通连续性原理,可得麦克斯韦第三方程 ：,穿过开表面积S的磁通,根据高斯定律,1. 传导电流、运流电流和位移电流,自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成,传导电流,2.9 由安培环路定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第四方程,为电阻率，,（电场强度与电势的关系）,此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohms law)，并且传导电流为,传导电流的电流密度 与电场强度 的关系为：,形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。,电荷在无阻力空间作有
9、规则运动而形成,运流电流,假设存在一个电荷体密度为 的区域，在电场作用下，电荷以平均速度v 运动，在dt 时间内，电荷运动的距离为dl则,如果存在一个面积元 dS，当运动电荷垂直穿过面积元时， dt 时间内穿过的总电量为,式中运流电流密度为,通常，传导电流与运流电流并不同时存在。,则穿过的电流为,所以，运流电流为,则穿过闭合面S的位移电流为：,电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成,位移电流,作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定律可知,式中位移电流密度,传导电流与位移电流,2.电流连续性原理,麦克斯韦假设， S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流相一致，并且若指定穿出S面的
10、电流为正，则,在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率，即,于是可得,即,此式称为电流连续性原理,电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。,其中,通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。,麦克斯韦由此预言电磁波,或,称为全电流密度,传导电流与位移电流,解： 忽略极板的边缘效应和感应电场,位移电流密度,位移电流,例: 已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数 ,极板间电压
11、为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流 iC 与 iD 的关系是什么?,电场,3.麦克斯韦第四方程,静电场的环流为零,稳恒磁场的环流如何呢？,说明静电场是保守场；,对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和环流。,对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。,与环路成右旋关系的电流取正。,在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任意闭合曲线的线积分（也称 的环流）, 等于穿过该闭合曲线的所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的0倍。,安培环路定理,磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。,安培环路定理揭示了磁
12、场的基本性质之一，磁场是有旋场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。,讨论,当电流呈面分布时,定义自由空间用磁场强度 表示的磁通密度为,则安培环路定律可写成,在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即,其中,麦克斯韦第四方程,由斯托克斯定律得,即,或,2.10 微分形式的麦克斯韦方程组,将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微分形式的麦克斯韦方程组 。,或,将电场与其场源电荷密度联系了起来，实际上，它是库仑定律的另一种形式。,第一方程,表明了随时间变化的磁场会产生电场 这是法拉第电磁感应定律的微分形式 。,第二方程,表明了在形成磁场的源中，不存在“点磁荷磁力线始终闭合 。
13、,第三方程,表明了产生磁场的源是电流或变化的电场安培定律的另一种表现形式。,第四方程,2.11 麦克斯韦方程的积分形式,根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。,转化为,其中引出了三个媒质特性方程,以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整”方程组，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说，第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电
14、荷所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相互依存、相互制约并且相互转化。,2.12 麦克斯韦方程的时谐形式,时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（time harmonic field）,简称时谐场。所谓时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应。,在直角坐标系中，电场强度矢量可用沿三个互为垂直的坐标轴的分量来表示，即,其中的三个分量可表示为,用
15、复数的实部表示为,即,运用上述规则，可将麦克斯韦方程改写为时谐形式,微分形式的时谐表示,积分形式的时谐表示,2.13 电磁场的能量与坡印廷矢量,电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的能量流动速率来表示。,麦克斯韦方程组如下,两式相减，可得,此式称为 坡印廷定理,式中，令,上式也可写成,用 点乘方程（4）,用 点乘方程（2）,坡印廷矢量,因为,即,因为 这一项可以看作是某一点上的单位体积能量的变化率，所以如果要上式中的纲量统一的话，则该式中所有的项必须都具有相同的意义，,能量的变化率,为了更好地理解上式中各项的真实含义，将它写成如下积分形式,式中,或者,式中第一项表示穿过包围体积v的封闭面S的功率；第二项表示由场供给带电粒子的功率，在导电媒质中 ，此项表示功率损耗或欧姆功率损耗；第三项表示电场储能的变化率；第四项表示磁场储能的变化率 。,讨论,通常将上式写成,等式左边的负号表示净功率流入体积v，以提供体积内的热损耗和电场与磁场的储能增加。,具有电磁能量密度的量纲。即，瞬时坡印廷矢量表示
