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1、 1 初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何Nba,，当且仅当ba 时，ab . （2） ）对任何Nba,，在ba ，ba =，ba 中有且只有一个成立. 证明：对任何Nba,，设aA = = ，bB = = （1） “” ba ，则BB , ,使 , BA，ABB , ,ab “” ab ，则BB , ,使AB , ，BBA , ,ba 综上 对任何Nba,，ba ab （2）由（1）ba ab ba 与ba 不可能同时成立， 假设ba 与ba =同时成立，则BB , ,使 , BA且BA， , B
2、B与 B 为有限集矛盾，ba 与ba =不可能同时成立， 综上，对任何Nba,，在ba ，ba =，ba 中有且只有一个成立. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何Nba,设 M 为使等式abba+=+成立的所有 b 组成的集合 先证 aa+=+11，设满足此式的a组成集合 k，显然有 1+1=1+1 成立 k1，设ka，aa+=+11，则 + +=+=+=+aaaaa1)1 () 1()(1 ka + ，Nk =， 取定a，则1M，设,bM abba+ = +，则 ()()ababbaba + +=+=+=+ ,bMMN + = 对任何Nba,，abba+=+ 3、证明自然数的乘法
3、是唯一存在的 证明：唯一性：取定a，反证：假设至少有两个对应关系, f g，对bN ，有 ( ), ( )f b g bN，设M是由使( )( )f bg b=成立的所有的b组成的集合， ( )( )1f bg ba= 1M 设bN则( )( )f bg b=( )( )f bag ba+=+ ()()f bg b + =，bM + ，MN= 即bN ，( )( )f bg b= 2 乘法是唯一的 存在性：设乘法存在的所有a组成集合K 当1a =时，bN ， 1 1 1,11 11bbbb + =+ = + k1，设aK，bN ， 有, a b与它对应，且1 aa=，ababa + =+，对b
4、N ，令a bab b + =+ 11 11aaaa + = + =+ = 1 ()(1) a babbabab abba a ba + + =+=+ =+ =+ aK + KN= 即乘法存在 p245、解：满足条件的A有 1 1,2A =， 2 1,2,3A =， 3 1,2,4A =， 4 1,2,5A = 5 1,2,3,4A =， 6 1,2,3,5A =， 7 1,2,4,5A =， 8 1,2,3,4,5A = 12345678 2,3,4,5AAAAAAAA = =基数和为23 34 3 528+ + += p246、证明：,Aa Bb=，A中的x与B中的y对应 ABab=，BA
5、baab= ABab= A BA BBA= p248、证明：1）3+4=7 3 134 + + = 323 1(3 1)45 + += +=+= 3332(32)56 + += +=+= 3433(33)67 + += +=+= 2）3 412= 3 13 = 3 23 13 1 36 + = = + = 3 33 23 2 39 + = = + = 3 43 33 3 3 12 + = = + = p2412、证明：1）()mnmn + +=+ ()1(1)mnmnmnmn + +=+ =+=+ 3 2）()mnnmm + =+ ()1(1)mnmnmnmnmm + =+ =+=+ p263
6、6、已知( , )f m n对任何,m nN满足 (1, )1 (1,1)( ,2) (1,1)( ,(1, ) fnn f mf m f mnf m f mn =+ += +=+ 求证：1）(2, )2fnn=+ 2）(3, )22fnn=+ 3） 1 (4, )22 n fn + = 证明：1)当1n =时，(2,1)(1 1,1)(1,2)2 1 1 2fff=+= + = +结论成立， 假设nk=时，结论成立，即(2, )2fkk=+， 当1nk=+时， (2,1)(1 1,1)(1,(2, ) (1,2)(2) 1(1)2 fkfkffk fkkk +=+= =+=+ =+ 所以对一
7、切自然数结论都成立 2）当1n =时，(3, )(2 1, )(2,2)2 22 1 2fnfnf=+= += +结论成立 假设nk=时，结论成立，即(3, )22fkk=+ 当1nk=+时， (3,1)(2 1,1)(2,(3, ) (2,22)2222(1)2 fkfkffk fkkk +=+= =+=+=+ 所以对一切自然数结论都成立 3） 当1n =时， 1 1 (4,1)(3 1,1)(3,2)2 2222fff + =+= =结论成立 假设nk=时，结论成立，即 1 (4, )22 k fk + = 当1nk=+时， 1 12 (4,1)(3,(4, )(3,22) 2(22)22
8、2 k kk fkffkf + + += =+= 所以对一切自然数结论都成立 p621、证明定理 2.1 4 证明： , , , a bc dZ， , , ,a bc dac bd+=+ 因为自然数加法满足交换律,ac bdca db+=+ 而 , , ,c da bca db+=+ , , , , a bc dc da b+=+ , , , , , a bc de fZ， , , , , , (),()a bc de fac bde face bdf+=+=+ 以为自然数满足加法结合律( , , ) , , ( , , )a bc de fa bc de f+=+ 即整数加法满足交换律和结合
9、律 p622、已知 , , , a bc dZ，求证 , , a bc d=的充要条件是 , , 1,1a bc d= 证明： “” 已知 , , a bc d=则adbc+=+ , , ,1,1a bc dad bc=+= “” 已知 , , 1,1a bc d=则,1,1ad bc+=，adbc+=+ , , a bc d= p624、已知Nba,，求证( , ) , a ba b = 证明： , , a bb a= ( , ) , , a bb aa b = p625、已知 , , , a bc dZ，求证( , , ) , , a bc da bc d=+ 证明：左边( , , ),a
10、 bc dad b cb c ad=+=+ 右边 , , , , ,a bc db ac dbc ad+=+=+ 所以左边等于右边( , , ) , , a bc da bc d=+ p627、已知, ,a b cN，求证当且仅当adbc+时 , , a bc d 证明： “” 已知adbc+， , , ,a bc dad b c=+ 因为 adbc+ ,ad bc+是负数， , , a bc d “” 已知 , , a bc d则 , , ,a bc dad b c=+ 因为,ad bc+是负数，adbc + 5 p629、已知,Z ，求证：1）+ ，2） = 证明：设 , , , a bc
11、 d= 1）,ac bd+=+ ()()acbd+=+ 而,abcd= ()()()()acbdabcdabcd+=+ + 2）,acbd adbc=+ ()acbdadbc=+ 而,abcd= ()()()()()acbdadbca cdb dcab cdab cd+=+= = p6312、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为, kk a b， 1,2,.,kn=，求证： 222222 1212 . nn aaabbb+=+ 证明：对于(1,2,., ) k a kn=，必存在一个(1,2,., ) j bjn=使得 kj ab= 22( , 1,2,., ) kj ab
12、 k jn= 222222 1212 . nn aaabbb+=+ p6316、已知10pab，10pcd，求证p adbc 证明：由已知：, s tZ使10a bps =，10cdpt= 10,10baps dcpt= 10(10)()adbcacaptac cpsp csat= p adbc p6317、设 2 不整除a，求证 2 81a + 证明：因为 2 不整除a，所以存在唯一一对, q rZ，使2aqr=+，其中02r 1r =， 22 441aqq=+ 2 14 (1)aq q =+ 2 81a 6 p6320、设aZ，求证(1)(2)(3) 1a aaa+是奇数的平方 证明： 2
13、2 22 2 (1)(2)(3) 1(1) 1(1)(2)(2) 1 1 (1)(1)(2)(2) 1 (1) (2)2(1)(2) 1 (1)(2) 1 a aaaaaaa aaaa aaaa aa + =+ =+ =+ =+ 1,2aa+肯定一奇一偶(1)(2)aa+肯定为偶数 (1)(2) 1aa+肯定为奇数 p6322、证明：前 n 个自然数之和的个位数码不能是 2、4、7、9 证明：前 n 个自然数的和为 (1) 2 n n+ 因为：n 个自然数的和仍为自然数 1+n 与 n 中必定一个为奇数一个为偶数 若个位数码为 2 则 1+n 与 n 的个位数码只能是 1,4 或 4,1 而（
14、1+n）- n=1 个位数码不能为 2 若个位数码为 4 则 1+n 与 n 的个位数码只能是 1,8 或 8,1 也不可能成立 若个位数码为 7 则 1+n 与 n 的个位数码有 2 种可能，则 2,7 或 1,14 也不可能成立，若个位数码为 9 则 1+n 与 n 的个位数码有 2 种可能，即 2,9 或 1,18 也不可能成立， 综上，前 n 个自然数和的个位数码不能是 2,4,7,9 p6326、证明 2.3 定理 1（ 12 ,., n a aa）=（ 12 ,. n aaa） 证明：因为： （ 12 ,., n a aa）是 12 ,. n a aa的公因数中的最大数 所以 R 需考虑非负整数 （ 12 ,., n a aa）=（ 12 ,. n aaa） p6329、证明 2.3 定理 4 的推论( , )1a b =的充要条件是有, x yZ使得1axby+= 证明：因为( , )1a b = , a b不全为 0 “” 由定理 4 , x yZ使( , )1ax bya b+= “” 设( , )a b
