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1、 1 第一章习题答案第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于 1800 件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为 25 件h，正确率为 98，计时工资为 4 元h；二级检验员标准为：速度为 15 件h，正确率为 95，计时工资 3 元h。检验员每错检一件，工厂损失 2 元。现有可供聘请检验人数为：一级 8 人和二级 10 人。为使总检验费用最 省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = = 二级检验员 一级检验员 2 1 x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数
2、，即： f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2 + 2（8*25*0.02x1 +8*15*0.05x2 ） =40 x1+ 36x2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X) = 40 x1+ 36x2 XR3 s.t. g1(X) =1800-8*25x1+8*15x20 g2(X) =x1 -80 g3(X) =x2-100 g4(X) = -x1 0 g5(X) = -x2 0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力 ，许用最大变形量 。欲 选择一组设计变量 TT nDdxxx 2321 =X使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧
3、圈数3n ， 簧丝直径0.5d ，弹簧中径 2 1050D。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 222 34 881 ,1,( 2 n ss F DFDD kkc dcdGd = +=旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = = n D d x x x 2 3 2 1 ； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f(X) = 32 2 1 2 4 xxrx （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X) = 32 2 1 2 4 xxrx XR3 2 s.t. g1(X) =0.5-
4、x1 0 g2(X) =10-x2 0 g3(X) =x2-50 0 g4(X) =3-x3 0 g5(X) = + 3 1 2 2 1 8 ) 2 1 ( x Fx x x 0 g6(X) = 4 1 3 3 2 8 Gx xFx 0 1-3 某厂生产一个容积为 8000 cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这 一优化问题的数学模型。 解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = = h r x x 2 1 高 底面半径 , 表面积为目标函数，即： minf(X) = x12 + 2 x1 x2 考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为： mi
5、nf(X) = x12 + 2 x1 x2 X=x1,x2TR2 s.ts.t. g1(X) = -x1 0 g2(X) = -x2 0 h1(X) = 8000 - x12 x2 = 0 1-4 要建造一个容积为 1500 m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为 4 元、6 元和 12 元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = = 高 宽 长 3 2 1 x x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取总价格为目标函数，即： f(X) =
6、8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2 （3）建立数学模型的约束函数； 1）仓库的容积为 1500 m3。即： 1500-x1 x2 x3 =0 2）仓库宽度为高度的两倍。即： x2 -2 x3 = 0 3）各变量取值应大于 0，即： x1 0, x2 . 0.，则 -x1 0，-x2 0 （4）本问题的最优化设计数学模型： 3 min f (X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 18 x1 x2 XR3 s.t. g1(X) = -x1 0 g2(X) = -x2 0 g3(X) = -x3 0 h1(X) = 1500-x1 x2 x3 =0
7、h2(X) = x2 -2 x3 = 0 1-5 绘出约束条件： 8 2 2 2 1 +xx； 82 2 21 +xx； 4 21 xx 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量： 1 132T=X; 2 234T=X; 3 414T=X。 第二章习题答案第二章习题答案 2-1 请作示意图解释： (1)( )( )( )kkkk + =+XXS的几何意义。 2-2 已知两向量 12 1220 ,2021 TT PP=,求该两向量之间的夹角。 2-3 求四维空间内两点)2 , 1, 3 , 1 (和)0 , 5 , 6 , 2(之间的距离。 2-4 计算二元函数 32
8、1121 ( )56fxx xx=+X在 (0) 1 1T=X处，沿方向12T=S的方向导数 (0) () s fX 和沿该点梯度方向的方向导数 (0) ()f X。 2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为 22 12 12 112 212 31 42 min( )(3)(4) , ( )50 ( )2.50 ( )0 ( )0 T fxx x x gxx gxx gx gx =+ = =+ = = = X X X X X X 求： (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为( )12 3 4f=X、 、 、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解 1 X
9、和对应的函数值 1 ()f X，约束最优解 2 X和 2 ()f X； (3) 若加入一个等式约束条件： 12 ( )0hxx=X 求此时的最优解 3 X， 3 ()f X。 解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面 X1OX2 。 4 其中的同心圆是目标函数依次为 f(X)=1、2、3、4 时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。 由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即： X1*3，4T 函数值 f(X1*)= 0 。 而约束最优解应在由约束线 g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧） 内寻找，即约束曲线 g1(X
10、)=0 与某一等值线的一个切点 X2*，可以联立方程： =+ =+ 01 05 21 21 xx xx ，解得 X2*=2，3 。 函数值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。 加入等式约束条件，则 X3*为可行域上为 h1(X)=0 上与某一条等值线的交点，可以联立方程： = =+ 0 05 21 21 xx xx ， 解得 X3*=5/2，5/2 。 函数值 f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。 2-6 试证明在(1,1)点处函数522)( 1 2 2 2 12 2 1 4 1 +=xxxxxxf X具有极小值。 证明：求驻点：224
11、4 )( 121 3 1 1 += xxxx x Xf ， 2 2 1 2 22 )( xx x Xf += 0 )( 0 )( 21 = = x Xf x Xf ，由，4)( 11 * =xfx T，极值 得：驻点 2 )( 4 )()( 2412 )( 2 2 2 1 12 2 21 2 2 2 1 2 1 2 = = = += x Xf x xx Xf xx Xf xx x Xf ， = 24 410 )(XH海赛矩阵 0 24 410 010 2221 1211 11 = aa aa a，各阶主子式： H(X)是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数)(Xf具有极小值。
12、 2-7 求函数 22 1212 ( )32210fxxxx=+X的极值点，并判断其极值的性质。 解：26 )( 1 1 = x x Xf ，14 )( 2 2 = x x Xf 0 )( 0 )( 21 = = x Xf x Xf ，由，24/229)(4/13/1 * =xfx T，极值 得：极值点 5 4 )( 0 )()( 6 )( 2 2 2 12 2 21 2 2 1 2 = = = = x Xf xx Xf xx Xf x Xf ， = 40 06 )(XH海赛矩阵 0 40 06 06 2221 1211 11 = aa aa a，各阶主子式： H(X)是正定的，所以，)(Xf
13、为凸函数。 24/229)(4/13/1 * =xf T，极值 得：极值点X 2-8 试判断函数 22 12121 ( )221fxxx xx=+X的凸性。 解：124 )( 21 1 += xx x Xf ， 12 2 22 )( xx x Xf = 2 )( 2 )( 2 )( 5 )( 2 2 2 12 2 21 2 2 1 2 = = = = x Xf xx Xf xx Xf x Xf ， = 22 25 )(XH海赛矩阵 0 22 25 05 2221 1211 11 = aa aa a，各阶主子式： H(X)是正定的， 所以，)(Xf为凸函数。 2-9 试用向量及矩阵形式表示 22
14、 1212 ( )10460fxxxx=+X并证明它在 12 ,1,2 i x xxi=D上 是一个凸函数。 解： 21 1 210 )( xx x Xf += ， 12 2 24 )( xx x Xf += 2 )( 1 )( 2 )( 2 2 2 21 2 2 1 2 = = = x Xf xx Xf x Xf ， = 21 12 )(XH海赛矩阵 0 21 12 02 2221 1211 11 = aa aa a，各阶主子式： 6 H(X)是正定的， 所以，)(Xf为凸函数。 2-10 现已获得优化问题 2 12 22 112 22 21212 22 312 41 52 min( )412 . .( )250 ( )1010340 ( )(3)(1)0 ( )0 ( )0 fxx stgxx gxxxx gxx gx gx = =+ =+ = = = X X X X X X 的一个数值解1.000,4.900T=X,试判定该解是否上述问题的最优解。 第三章习题答案第三章习题答案 3-1 函数983)( 3 +=xxf X，当初始点分别为0 0 =x及8 . 1 0 =x时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初 始步长1 . 0 0 =T。 解：当0 0 =x时 （1）取1 . 0,
