《高中数学二三角形中的几何计算教案北京师范大学版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学二三角形中的几何计算教案北京师范大学版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 三角形中的几何计算教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2引导学生总结三角恒等式的证明
2、或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲解范例：例1在任一ABC中求证：证：左边=0=右边例2 在ABC中，已知，B=45 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=4590即ba A=60或120当A=60时C=75当A=120时C=15解二：设c=x由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：当时从而A=60，C=75当时同理可求得：A=120，C=15例3 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）ABC的面积解：（1）cosC=cosp-(A+
3、B)=-cos(A+B)=-C=120（2）由题设：AB2=AC2+BC2-2ACBCosC即AB=（3）SABC=例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135求BC的长聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：在ABD中，设BD=x则即整理得：解之：（舍去）由余弦定理：例5 ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ; 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1设三边且C为钝角 解得或3 但时不能构成三角形应舍去当时 2设夹C角的两边为S当时S最大=例6 在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD
4、4，求BC边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：设BC边为，则由D为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC解得，2, 所以，BC边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
5、另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得，设BD5，DC3，则由互补角ADC、ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。三、课堂练习：1半径为1的圆内接三角形的面积为025，求此三角形三边长的乘积解：设ABC三边为a，b，c则ABC又，其中R为三角形外接圆半径, abc4RSABC410251所以三角形三边长的乘积为1评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式ABC发生联系，对abc进行整体求
6、解2在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB解：在ADC中，cosC又0C180，sinC在ABC中，AB评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用3在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值解：cosAcos45，0A45A90, sinAsinBsin30，0B0B30或150B180若B150，则BA180与题意不符0B30cosBcos（AB）cosAcosBsinAsinB又C180（AB）cosCcos180（AB）cos（AB）评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知
7、的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。四、小结通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力厦礴恳蹒骈時盡继價骚。五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记及备用资料：1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下
8、面举例说明之例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度数解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB，2sinAsinCcosBsinAsinCsinAsinC0 cosB150例2求sin210cos240sin10cos40的值解：原式sin210sin250sin10sin50在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA中，令B10，C50，则A120sin2120sin210sin2502sin10sin50cos120sin210sin250sin10sin50（）2例3在ABC中，已知2cosBsinCsinA
9、，试判定ABC的形状解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinCsin2A，由定理得sin2Asin2Csin2sin2A，sin2Csin2BBC故ABC是等腰三角形2一题多证在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形证法一：欲证ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a茕桢广鳓鯡选块网羈泪。2bcosC，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。sinBcosCcosBsinC0即sin（BC）0，BC（）B、C是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有abcosCccosB，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即又即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC为等腰三角形证法三：cosC化简后得b2c2bcABC是等腰三角形7
