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1、导数双变量问题分类整理【例】(2018全国卷)已知函数(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：【解析】(1)的定义域为，（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减（ii）若，令得，或当时，；当时，所以在，单调递减，在单调递增(2)由(1)知，存在两个极值点当且仅当由于的两个极值点，满足，所以，不妨设，则由于，所以等价于设函数，由(1)知，在单调递减，又，从而当时，所以，即【例】(2018浙江)已知函数(1)若在，()处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点【解析】(1)函数的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以160+所以在
2、上单调递增，故，即(2)令，则，所以，存在使，所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点由得，设，则，其中由(1)可知，又，故，所以，即函数在上单调递减，因此方程至多1个实根综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点【例】(2018天津)已知函数，其中(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线【解析】(1)由已知，有令，解得由，可知当变化时，的变化情况如下表：00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为(2)证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为由，可得曲线在点处的切线斜率为因为这两条切线平行，故有，
3、即两边取以a为底的对数，得，所以(3)证明：曲线在点处的切线：曲线在点处的切线：要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得l1和l2重合即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得 因此，只需证明当时，关于的方程有实数解设，即要证明当时，函数存在零点，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即由此可得在上单调递增，在上单调递减 在处取得极大值因为，故，所以下面证明存在实数，使得由(1)可得，当时，有，所以存在实数，使得，因此，当时，存在，使得所以，当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线【例】(2016年全国) 已知函数有两个零点（I）求a的
4、取值范围；（II）设，是的两个零点，证明：【解析】（）（i）设，则，只有一个零点（ii）设，则当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点（iii）设，由得或若，则，故当时，因此在上单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在上单调递减，在上单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为（）不妨设，由（）知，又在上单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，从而，故【例】(2015新课标）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；()若对于任意，都有，求的取值范围【解析】()若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所
5、以，在单调递减，在单调递增()由()知，对任意的，在单调递减，在单调递增故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：，即 设函数，则当时，；当时故在单调递减，在 单调递增又，故当时，当时，即式成立，当时，由得单调性，即；当时，即综上，的取值范围是关于极值点双变量的求参数范围问题：【例】（2020湖北高三模拟）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为；单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）求解导函数，根据导函数的分子（二次函数）分类讨论与的关系，从而
6、可分析出函数的单调性；（2）根据已知条件构造关于的新函数，根据新函数的单调性分析出的取值范围，然后根据与的关系即可求解出的取值范围.【详解】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，（ii）若，令得.当时，；当时，所以，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为；单调递增区间为.（2）由（1）知：且.又，由得，.，令，所以在上单调递减.由y的取值范围是，得t的取值范围是，又，故a的取值范围是.【点睛】（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关于（或）的新函数，借助新函数的单调性分析问题.关于极值点双变
7、量的最值问题：【例】（2020福建省高三）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的最大值【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值.【详解】（1），当，即时，此时在上单调递增；当时，有两个负根，此时在上单调递增；当时，有两个正根，分别为，此时在，上单调递增，在上单调递减综上可得:时，在上单调递增，时，在，上单调递增，在上单
8、调递减（2）由（1）可得，令，则，当时，；当时，在上单调递增，在单调递减的最大值为。关于极值点双变量的不等式证明问题：【例】【云南省2020高三期末】已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，证明：.【分析】（1）先求解导数，再结合导数式特点，进行分类讨论，可得单调性；（2）结合极值点的特征，把目标式中双变量转化为单变量，结合函数单调性可证.【解析】（1）解：由题得，其中，考察，其中对称轴为，.若，则，此时，则，所以在上单调递增；若，则，此时在上有两个根，且，所以当时，则，单调递增；当时，则，单调递减；当时，则，单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递
9、减，在上单调递增.（2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，且，所以.令，则只需证明，由于，故在上单调递减，所以.又当时，故，所以，对任意的，.综上，可得.【例】（2020陕西省西北工业大学附属中学高三二模）设函数.(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间.(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1），的增区间为，减区间为. （2），证明见解析【解析】【分析】（1）求导数，由题意可知为方程的根，求解值，即可.再令导数，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.（2）函数存在两个极值点，等价于方程即在上有两个不等实根，则，即可. 变形整理为；若证明不等式，则需证明，由变形为
10、，不妨设，即证，令，则，求函数的取值范围，即可证明.【详解】（1），时，取得极值.，解得或解得的单调增区间为，单调减区间为.（2），存在两个极值点方程即在上有两个不等实根.，.所证不等式等价于，即不妨设，即证，令，在上递增.成立.成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式.属于难题.关于零点双变量的求参数范围问题：【例】（2020江西省高三模拟）已知函数有两个零点、.（1）求实数的取值范围;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值
11、范围；（2）由题意推导出，分和两种情况讨论，结合以及函数的单调性得出的取值范围，再由以及函数的单调性可求得实数的取值范围.【详解】（1），令，可得，构造函数，则直线与函数的图象有两个交点.，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，且在处取得极大值.当时，；当时，如下图所示：由图可知，当时，直线与的图象有两个交点，因此实数的取值范围是。（2）由（1）可知，且，.若，则，合乎题意；若，则，且函数的单调递减区间为，即，即，解得，此时.综上所述，的取值范围是.函数在区间上单调递增，即.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围，
12、考查数形结合思想的应用，属于难题.关于独立双变量的不等式恒成立问题：【例】设函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围【解析】（1）由条件得，在点处的切线与垂直，此切线的斜率为0，即，有，得，由得，由得在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值故的单调递减区间为，极小值为2（2）条件等价于对任意恒成立，设则在上单调递减，则在上恒成立，得恒成立，（对仅在时成立），故的取值范围是【评注】此类问题一般是根据两边式子结构构造同一个函数，利用函数单调性求解关于独立双变量的不等式证明问题：【例】（2020四川省高三二模）已
13、知函数证明：（1）函数在上是单调递增函数；（2）对任意实数、，若，则【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得，通过的函数值符号的分析，可求得，于是可证得函数在上是单调递增函数；（2）由（1）知函数在上是单调递增函数，设，再构造函数，利用导数分析其单调性即可证得成立【详解】（1），令，得，即函数在区间上单调递增；，得，函数在区间上单调递减.所以，函数的最小值为，故在上是单调递增函数；（2）因，在上是单调递增函数，不妨设，构造，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减，因，有由（1）知，函数在上是单调递增函数，有，即【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，根
14、据函数的单调性构造合适的函数是关键，考查逻辑推理与运算能力，属于难题关于独立双变量的求参数范围问题：【例】（2020麻阳苗族自治县第一中学高三）已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函数f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足1，求实数a的取值范围；（3）若x(0,1，使f(x)成立，求实数a的取值范围【答案】（1）m(t)（2）a22.（3）a22.【解析】【分析】（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解（2）注意到
