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1、1,3.5 多元复合函数的偏导数和全微分,在一元函数的求导法中，复合函数的链式法则发挥,了非常重要的作用。,函数。,本部分将把链式法则推广到多元,论述链式法则。,为了论述简洁，,我们以由两个中间变量和两个,自变量构成的复合函数,为例来,2,可微，,且其全微分为,（全微分形式不变性）,处也必,定理3.3,设,和,均在点,处可微，,而函数,在对应的点,处,处可微，,则复合函数,在点,3,由定理可见，,复合函数,有链式法则:,5,多元函数的复合可以有多种情况，,例如：,（1）设,均可微，,则复合,函数,是,的一元可微函数，,可得,此式称为复合函数,对,的全导数公式.,（2）设,均可微，,则复合函数,
2、可微，,它有一个中间变量、三个自变量，,可得：,6,（3）设,均可微，,则复合函数,可微，,它有三个中间变量，两个自,变量，可得：,注意:,这里,表示,表示,与,不同,固定 y 对 x 求导,固定 y 、z对 x 求导。,7,例3.16,设,其中,可微，求,解:,由于,及,显然可微，故复合函数可微，,可得，,把,中的,看作是第一个变量，,看作是,第二变量，有时采用下面的记号更为方便清晰：,其中,表示,对第一个变量的偏导数，,表示,对第二个变量的偏导数。,说明：,8,例3.17,设,其中,可导，,证:,把,看作是由函数,复合而成，分别对,从而,求证：,及,与,求导得,9,例3.18,设,其中,具
3、有对各变量的连续的,二阶偏导数，且,求,解:,根据函数的复合结构及复合函数的链式法则，得,注意到,都是,的三元函数，再有链式法则，,其中,表示,先对第i个变量求导，再对第j个求二阶偏导.,10,在解决物理、力学等问题时，常需要把一种坐标系下,的偏导数转化成另一种坐标系下的偏导数，如下例：,例3.19,求,与,在极坐标中的,表达式，其中,具有连续的二阶偏导数.,解:,令,从而,此时,可以把,看作,与,复合而成,11,应用链式法则得,由 (1) 式得,把四个式子代入（2）式得,12,将（3）（4）两式平方相加得,将（3）式两端再对 x 求偏导数，得,13,同理，将（4）式两端对 y 求偏导，并化简
4、可得,所以，,证毕。,在一元函数中，一阶微分具有形式不变性，下面,我们讨论多元函数一阶全微分形式的不变性。,14,以二元复合函数为例,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,15,设,其中,对于多元复合函数,若 f 可微，u 也可微，则,16,即,把,中的,看作中间变,量或自变量时的全微分形式完全一样，这一性质称为,一阶全微分形式不变性 (高阶全微分不具有此性质),17,全微分的有理运算法则,例3.20,设,可微，求,的偏导数。,解:,利用一阶全微分形式不变性，可得,所以，,18,3.6 由一个
5、方程确定的隐函数的微分法,常会遇到一些函数，其因变量与自变量的关系以方程,形式联系起来，例如：,可把 x、y 看作自变量，z 看作因变量，则方程确定了,两个连续的二元函数：,设方程,若存在 n 元函数,代入方程恒成立,则称,是由,确定的隐函数,19,定理3.4（隐函数存在定理）,则方程,个有连续导数的函数 y = f (x) ,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,的某邻域内可唯一确定一,满足：, 在点,它满足：,若二元函数,的某邻域内有连续的偏导数；,在点,以及,并且,20,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,21,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还可求隐函数的,22,定理3.4（推广）,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,23,两边对 x 求偏导,同样可得,则,(隐函数求导公式),24,例3.21,设,具有连续的一阶偏导数，方程,确定了函数,解:,令,所以，,求,显然复合,函数,具有连续的一阶偏导数，得,25,例3.22,设方程,确定了函数,解:,利用隐函数求导公式,在点（1，0，-1）处,求点（1，0，-1）处的全微分,从而,
