《高中数学2.7《不变直线》教案湘教版选修4-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学2.7《不变直线》教案湘教版选修4-2（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心爱心专心- 1 - 2.7 不变直线 教学目标 : 一、知识与技能： 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；求二阶 方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；利用矩阵A 的特征值、特 征向量给出A n 的简单的表示式，并能用它来解决问题。 二、方法与过程 经历画图、观察、发现，探究方向不变的向量和直线，研究二阶方阵的特征值与特征向 量及 A n 型矩阵；体验由特殊到一般再到特殊的数学研究方法。 三、情感、态度与价值观 提高学生的概括迁移能力，增强学生的逻辑推理能力，体会数学的美学意义，激 发学生的学习兴趣。 教学重点 : 求二阶方阵的特征值
2、与特征向量，并利用它求A n 型矩阵 教学难点： 矩阵特征值与特征向量的几何意义 教学过程 一、复习引入： 1、任何一个二元一次方程组 fdycx ebyax 都可以写成矩阵式 dc ba y x f e 假如记 A dc ba ，X y x ，B f e ，则方程组具有形式AX B 其中 A 称为系数矩阵，detA 称为系数行列式。如果detA0，则 A 可逆，可根据求逆公式求 出 A 1 XA 1 B 2、假定方程组 fdycx ebyax 中dcba,不全为0，但系数行列式bcad0，则用加减 消去一个末知数之后两个末知数同时消去，得到的方程形如0。如果0，方程组无解。 如果0，任何一个
3、一次项系数不全为0 的方程的全部解都是方程组的全部解，方程有无穷 用心爱心专心- 2 - 多组解。 二、实验观察 用数学软件制作课件：取一个矩阵A 9.02.0 3.01 .1 ，决定一个线性变换A。将每个点P与向 量OP对应起来，变换A 将P P的同时将OP OP。 通过课件的演示学生观察在变换作用下向量方向的变化：沿顺时针方向转动还是沿逆时针 方向转动？是否有的向量方向保持不变，或者变到相反方向？是否有某条直线变到自身？ 观察发现，两条直线M1M2，N1N2（共 4 个方向）上的向量方向保持不变，这两条直线被 变到自身，两条直线上共4 个方向将平面划分成4 个区域，同一区域中向量方向的转向
4、相同， 相邻的不同区域中向量方向转向相反。 求上面的实验中在线性变换作用下保持方向不变的向量以及保持不变的直线 线性变换A：P（yx,） P（ x， y）使 y x 9 .02 .0 3 .01 .1 y x 每个方向由非零向量代表，只要找到X y x 0 0 使 AX X 对某个正实数成立。 则与 X 共线的方向上所有的向量在线性变换作用下都保持方向不变。 y x 9. 02 .0 3. 01 .1 y x ，即 yxy yxx 9.02.0 3 .01.1 移项，合并同类项，得 0)9.0(2 .0 03. 0) 1.1( yx yx 此方程组至少有一组解（yx ,）（ 0,0） 。如果它
5、的系数行列 式不为 0。则只有这一组解，要使它有非零解（yx ,）（ 0,0） ，系数行列式必须等于0，即 0)2.0)(3 .0()9.0)(1.1(093.02 2 解此一元二次方程，求得两个实数根 1 1.2646， 2 0.7354 分别代入方程组，当 11.2646 时，方程组成为 03646. 02.0 03 .01646. 0 yx yx 解之得：xy549.0 用心爱心专心- 3 - 当 20.7354，方程组成为 01646.02. 0 03.03646. 0 yx yx 解之得：xy215.1 沿直线xy549.0的向量以及沿直线xy215.1的向量都保持方向不变，这两条直
6、线 被线性变换到自身。 一般地，设A dc ba ， A表示的变换A：P（yx ,） P（ x， y） 使 X AX 对 X y x ，X y x 成立。 假设过原点的某条直线 l被 A 变到l中，在l上任取原点外的一点P（yx , ） ， 则P的像 P A（P）的坐标（ x， y）（yx ,） ，是某个实数，对这一组（yx ,）（0,0） ， 就有 y x dc ba y x ，即 dycxy byaxx 合并同类项，得 0)( 0)( ydcx byxa 此方程组至少有一组解（yx ,）（ 0,0） 。如果它的系数行列式不 为 0。则只有这一组解，要使它有非零解（ yx , ）（0,0）
7、，系数行列式必须等于0，即 0)()(abda 如果这个一元二次方程有实数根，对每个实数根 0代入方程组变可以求出解（ yx,） （ 00 ,yx）（0,0） ，满足条件A 0 0 y x 0 0 0 y x 实际上，对所有的实数 k，都有 A 0 0 ky kx 0 0 0 ky kx 设l是过原点和点 0 P（ 00, y x）的直线，则整个l被变换 A 变到l之中，称为在变换A 作 用下不变的直线。 非零向量 0 OP被变换 A 变到自己的倍向量0 0 OP，我们称0为 A 的特征值，称 0 OP为 A 的属于特征值 0的特征向量。 我们也称 0为矩阵 A 的特征值， 向量0 OP的 0
8、0 , yx坐标为矩阵A 的特征向量。 矩阵的特 用心爱心专心- 4 - 征值 0和特征向量，就是满足 AX0 0X0的数0和非零向量 X0 三、例题解析 例 1、求下列矩阵 A 的特征值和特征向量 （ 1） 03 12 （2） 11 11 思路点拔：计算A 的特征向量的步骤是 （ 1）由矩阵A dc ba 得到矩阵 dc ba 称为特征矩阵 （ 2）求特征矩阵的行列式bada)(这是的二次多项式，称为特征多项式。 （ 3）求特征多项式的根，也就是使特征多项式等于0 的的值，就是特征值。 解：（1）特征矩阵 3 12 ，特征多项式3)2(，即32 2 解方程32 2 0，求得 1 1， 23
9、将 1 1代入特征矩阵得 13 13 ，以它为系数矩阵的方程组是 03 03 yx yx 解之得xy3， （yx ,）（t，t 3） ，t为任意实数，当t0 时 t t 3 是特征向量 将 13 代入特征矩阵得 33 11 ，以它为系数矩阵的方程组是 033 0 yx yx 解之得xy， （yx ,）（t，t） ，t为任意实数，当t0 时 t t 是特征向量 （2）特征矩阵 11 11 ，特征多项式22 2 显然22 2 0 无实根。因此，A 没有实特征值，没有实特征向量。 例 2、已知矩阵A 03 12 ，求 A n 思路点拔：如果找到了A 的两个不平行的特征向量X1， X2，则 A,1 1
10、X1，AX 2 2X2， A 在 X1，X2上的作用很简单，相当于分别用 1，2去乘。因此 A n X1 n 1X1，A n X2 n 2X2 用心爱心专心- 5 - 其余的每个向量X 都可以写成X1，X2的线性组合 X 1 tX1 2 tX2，知道了A n 在 X1，X2 上的乘法效果，就确定了A n 在任意 X上的乘法效果：A n （ 1 tX1 2 tX2） 1 t n 1X12 t n 2X2， 由此可确定A n 。 解：由上例已求出A 的特征值 1 1， 23， 并求出属于特征值 1的特征向量 t t 3 ， 属于特征值3 的特征向量 t t ，其中t0，取t 1， 得 A 3 1
11、3 1 ，A 1 1 3 1 1 于是， A n 3 1 (1) n 3 1 ，A n 1 1 3 n 1 1 设 A n dc ba 代入，得 dc ba 3 1 (1) n 3 1 ， dc ba 1 1 3 n 1 1 即 dc ba 3 3 n n ) 1)(3( )1( ， dc ba n n 3 3 n n n n dc dc ba ba 3 ) 1(33 3 ) 1(3 ，解得 4 )1(33 4 )1(3 1 nn nn b a ， 4 )1(33 4 )1(33 11 nn nn d c 因此 A n 4 )1(33 4 )1(33 4 )1(33 4 )1(3 11 1 n
12、nnn nnnn 四、课堂练习 已知矩阵A 10 01 ， （1）求 A特征值和特征向量（2）求 A n 五、小结 1、计算 A 的特征向量的步骤是 用心爱心专心- 6 - （ 1）由矩阵A dc ba 得到矩阵 dc ba 称为特征矩阵 （ 2）求特征矩阵的行列式bada)(这是的二次多项式，称为特征多项式。 （ 3）求特征多项式的根，也就是使特征多项式等于0 的的值，就是特征值。 2、如果找到了A 的两个不平行的特征向量X1，X2，则 A,1 1X1，AX 2 2X2，A 在 X1， X2上的作用很简单，相当于分别用 1，2去乘。因此 A n X1 n 1X1，A n X2 n 2X2 其余的每个向量X 都可以写成X1，X2的线性组合 X 1 tX1 2 tX2，知道了A n 在 X1，X2 上的乘法效果，就确定了A n 在任意 X上的乘法效果：A n （ 1 tX1 2 tX2） 1 t n 1X12 t n 2X2， 由此可确定A n 。A 等于对角矩阵 b a 0 0 ，则 A n n n b a 0 0 六、课后作业： 课本 67 页习题 7 教学反思：
