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1、高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 1 / 18 专题十直线与圆 【高考导航】 一、考试内容 1.有向线段 .两点间的距离. 线段的定比分点. 2.直线的方程 . 直线的斜率 . 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程. 直线方程 的一般式 . 3.两条直线平行与垂直的条件. 两条直线所成的角. 两条直线交点. 点到直线的距离. 4.圆的标准方程和一般方程. 二、考试要求 1.理解有向线段的概念. 掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公 式和线段的中点坐标公式. 2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式. 熟练掌握直线方程的点斜式， 掌握直线方程的斜截式
2、、两点式、截距式以及直线方程的一般式. 能够根据条件求 出直线的方程 . 3.掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系. 会求两条相交直线的夹角和交点. 掌握点到直线的距离公式. 4.熟练掌握圆的标准方程和一般方程. 能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程. 掌握直线和圆的位置关系的判定方法. 三、考点简析 1.有向线段 . 有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在 数轴上有向线段AB的数量 AB xBxA. 2.两点间的距离公式. 不论 A(x1，y1) ， B(x2，y2) 在坐标平面上什幺位置，都有d AB 2 21 2 21 )()(
3、yyxx，特别地，与坐标轴平行的线段的长AB x2 x1或 AB y2 y1 . 3.定比分点公式 . 定比分点公式是解决共线三点A(x1， y1) ， B(x2，y2) ， P(x ，y) 之 间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量 之比 . 这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随 之确定了 . 若以 A为起点， B为终点， P为分点， 则定比分点公式是 1 1 21 21 yy y xx x . 当 P点为 AB的中点时，1，此时中点公式是 2 2 21 21 yy y xx x 4.直线的倾斜角和斜率的关系. (1) 每一条直线都
4、有倾斜角，但不一定有斜率. (2) 斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角之间的关系是 ktan . 5.确定直线方程需要有两个互相独立的条件. 确定直线方程的形式很多，但必须注意 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 2 / 18 各种形式的直线方程的适用范围. 6.平面上直线与二元一次方程是一一对应的. 7.两条直线的夹角. 当两直线的斜率k1k2 ， 都存在且 k1 k2 1时， tan 21 12 1kk kk ， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断，另外还应注意到：“到角”公式与“夹 角”公式的区别. 8.怎幺判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的
5、斜率 都存在，可用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂 直条件来判断 . (1) 斜率存在且不重合的两条直线l1:y k1xb1， l2:y k2xb2，有以下结论： l1l2k1k2； l1l2k1k2 1. (2) 对于直线l1:A1xB1yC10， l 2:A2x B2yC20，当 A1、A2、B1、B2都不为零 时，有以下结论： l1l2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A l1l2A1A2B1B20； l1与 l2相交 2 1 2 1 B B A A ； l1与 l2重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A . 9.点到直线的距离公式.
6、 (1) 已知一点P(x0，y0) 及一条直线l:Ax ByC0，则点 P 到直线l 的距离 d 22 00 BA CByAx ； (2) 两平行直线l1:AxByC10， l2:Ax By C2 0之间的距离d 22 21 BA CC . 10. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件. 圆的方程有两种形式，要注意各种形式的 圆方程的适用范围. (1) 圆的标准方程： (x a) 2(y b)2r2，其中 (a ，b) 是圆心坐标， r 是圆的半径； (2) 圆 的 一般 方程 ： x 2 y 2 Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0) ，圆 心坐 标 为 ( 2 , 2 ED ) ，半
7、径为r 2 4 22 FED 11. 直线与圆的位置关系的判定方法. (1) 法一：直线： AxByC0；圆： x 2y2DxEyF0. 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 3 / 18 消元 0 0 22 FEyDxyx CByAx 一元二次方程 相离 相切 相交 判 别 式 0 0 0 (2) 法二：直线： AxByC0；圆： (x a) 2(y b)2 r2，圆心 (a ，b) 到直线的 距离为 d 相离 相切 相交 rd rd rd BA CBbAa 22 . 12. 两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为O1、 O2，半径分别为r1、 r2， O1O2为圆心距，则
8、两圆位置关系 如下： O1O2 r1r2两圆外离； O1O2 r1r2两圆外切； r1r2 O1O2 r1r2两圆相交； O1O2 r1r2两圆内切； O1O2 r1r2两圆内含 . 四、思想方法 1.公式法 . 求直线和圆的方程要正确运用公式解题. 各种位置关系的判断要灵活使用 各种结论 . 2. 数形结合思想 . 解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的. 即： 将对 几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义. 【典型例题】 【例 1】要将两种大小不同的钢板截成A 、B、C三种规格， 每张钢板可同时截成三 种规格小钢板块数如下表： A B C 第一种
9、钢板1 3 1 第二种钢板1 1 4 每块钢板面积第一种1 平方单位，第二种3 平方单位，今需要A、B、 C 三种规格的成品各 14、 23 、 39块，问各截这两种钢板多少张可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积 最小，并求出这个最小面积. 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 4 / 18 【解】设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，满足条件，则 1, 323, 439, , xy xy xy xN yN 其目标函数zx3y 取最小值 . 作出如图可行域，最优解在 17 25 , 33 附近 , 取 y8， x7 满足条件，此时z31；取 y7， x 11，满足条件，此时z
10、 32.比较即知， x 7，y8，即截第一种钢板7 张，第二种钢板8 张，可得到所需规格成品，且所使用的钢 板面积最小为31 平方单位 . 【例 2】如图， 已知：射线OA为 ykx(k 0，x0) ，射线 OB为 y kx(x 0) ， 动点 P(x ，y) 在 AOx的内部， PM OA于 M ，PN OB于 N，四边形 ONPM 的面积恰为k. 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 5 / 18 (1) 当 k 为定值时， 动点 P的纵坐标 y 是其横坐标x 的函数， 求这个函数yf(x)的解析式； (2) 根据 k 的取值范围，确定yf(x)的定义域 . 【解】设( ,),
11、( ,),(0,0)M a kaN bbkab 则 2 1OMak, 2 1ONbk, 由动点 P在 AOx的内部，得 0ykx . 2 1 kxy PM k 2 1 kxy k 2 1 kxy PN k 2 1 kxy k ONPMONPOPMSSS= 1 () 2 OMPMONPN 1 ()() 2 a kxyb kxyk ()()2k ab xab yk (1) 又 1 PM ykx k kxa , 1 PN ykx k kxb , 2 1 xky a k , 2 1 xky b k , 代入 (1) 消去 a,b 得 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 6 / 18 22
12、2 1xyk y0, 22 1yxk (2) 由0ykx得 22 01xkkx, 22 2222 10 1 xy xkk x 2 222 1 (1)1 xk kxk 当 k=1 时 ,x 2 当 0k1 时, 2 1x xk 【例 3】如图所示，已知O过定点A(0，p)(p 0) ，圆心O在抛物线x 22py 上运动， MN 为圆 O在 x 轴上所得的弦，令AM d1， AN d2， MAN . (1) 当点运动时，MN 是否有变化?并证明你的结论； (2) 求 1 2 2 1 d d d d 的最大值，并求取得最大值的值. 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 7 / 18 【解
13、】设 00 (,)O xy, 2 000 2(0)xpyy 则 O的半径 O A 22 00 ()xyp O 的方程为 2222 0000 ()()()xxyyxyp 令 y=0, 并把 2 000 2(0)xpyy代入得 x 22x 0 x x0 2p2 0， 得0M xxp , 0N xxp 2 NM MNxxp为定值 . (2) 0 (,0)M xp , 0 (,0)N xp 22 10 ()dpxp , 22 20 ()dpxp , 则 2222 120 42ddpx , 42 120 4d dpx, 22 2112 1212 dddd ddd d = 22222 00 44 44 0
14、 0 42(2) 2 4 4 pxpx px px = 22 0 42 0 4 2 1 4 p x px 22 0 22 0 4 2 12 2 2 2 p x p x 当且仅当 22 0 2xp , 即 0 yp时 , 21 12 dd dd 的最大值为2 2 此时O BMBNB(B 为 MN 中点 ) 又O MO N 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 8 / 18 OMN为等腰直角三角形， 0 90MO N 则 1 . 24 MO N 【例 4】如图所示，已知圆C：x 2y24 内一点 A( 3，0) 与圆 C上一动点Q的 连线 AQ的垂直平分线交OQ于点 P. (1) 当点
15、 Q在圆 C上运动一周时，求动点P的轨迹方程； (2) 过点 O 倾斜角为的直线与点P 的轨迹相交于B1、B2两点，当在区间 2 ,0( 内变化 时，求 AB1B2的面积 S(). 并求 S() 的最大值 . 【说明】本题考查直线与圆的综合问题. 解题关键：椭圆定义的运用；直线参数方程 的运用；用基本不等式求最值. 【解】 (1) 因为点 P在线段 AQ的垂直平分线上，所以 PA PQ POPA2POPQOQ 又32OA 所以点 P的轨迹是以O 、 A 为焦点的椭圆，其方程为 2 23 41 2 xy . 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 9 / 18 (2) 设直线 B1B2
16、的参数方程为 cos , sin xt yt (t 为参数 ) 代入 2 23 41 2 xy 整理，得 222 1 (4sincos)3 cos0 4 t 由弦长公式及韦达定理，得 2 1212121 2 ()4B Bttttt t 2 2 3sin1 所以 AB1B2的面积为 12 1 sin 2 SOAOBOB 12 3 sin 2 tt 2 3sin 3sin1 ( )S2 3sin 3sin1 = 3 1 3sin sin 31 22 3 当且仅当 1 3sin sin , 即 3 arcsin 3 S( ) 取最大值 1 2 . 【例 5】设正方形ABCD 的外接圆方程x 2 y 26xa0(a 9 ) C 、D点所在直 线 l 的斜率为 3 1 . (1) 求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC 、 BD 的斜率； (2) 如果 ABCD 的外接圆
