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1、用心 爱心 专心1 充分条件与必要条件 例 1 已知 p：x1，x2是方程 x25x60 的两根， q： x1x2 5， 则 p 是 q 的 A充分但不必要条件B必要但不充分条件 C充要条件D 既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换 解x1，x2是方程 x25x60 的两根， x1，x2的值分别为1， 6， x1x216 5 因此选 A 说明：判断命题为假命题可以通过举反例 例 2 p 是 q 的充要条件的是 Ap：3x25，q： 2x3 5 Bp：a2，b2，q： ab Cp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 Dp：a0，q：关于 x 的方程 ax 1 有惟一解 分析逐
2、个验证命题是否等价 解对 Ap：x1，q：x1，所以， p 是 q 的既不充分也不必要条件； 对 Bpq但 qp， p 是 q 的充分非必要条件； 对 Cpq且 qp， p 是 q 的必要非充分条件； 对且，即， 是 的充要条件选DpqqppqpqD 说明：当a0 时， ax0 有无数个解 例 3 若 A 是 B成立的充分条件，D是 C 成立的必要条件，C是 B 成立的 充要条件，则D是 A成立的 A充分条件B 必要条件 C充要条件D 既不充分也不必要条件 分析通过 B、C作为桥梁联系A、D 解A是 B的充分条件，AB 用心 爱心 专心2 D是 C成立的必要条件，CD 是 成立的充要条件，CB
3、CB 由得AC 由得AD D是 A成立的必要条件选B 说明：要注意利用推出符号的传递性 例 4 设命题甲为： 0 x5，命题乙为 |x 2| 3，那么甲是乙的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D 既不充分也不必要条件 分析先解不等式再判定 解解不等式 |x 2| 3 得 1 x5 0 x51x 5，但 1x50 x 5 甲是乙的充分不必要条件，选A 说明：一般情况下，如果条件甲为xA，条件乙为xB 当且仅当时，甲为乙的充分条件； 当且仅当时，甲为乙的必要条件； AB AB 当且仅当AB时，甲为乙的充要条件 例 5 设 A、 B、C三个集合，为使A(BC)，条件 AB是 A充分条件B
4、 必要条件 C充要条件D 既不充分也不必要条件 分析可以结合图形分析请同学们自己画图 A(BC) 但是，当BN ， CR，AZ 时， 显然 A(BC)，但 AB不成立， 综上所述：“ AB”“A(B C)” ，而 “A(BC)”“AB” 即“ AB”是“ A(BC)”的充分条件( 不必要 ) 选 A 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况 例 6 给出下列各组条件： (1)p ：ab0，q：a2b20； 用心 爱心 专心3 (2)p ：xy0，q：|x| |y| |x y| ； (3)p ：m 0，q：方程 x2xm 0 有实根； (4)p ：|x 1| 2，q：x 1
5、其中 p 是 q 的充要条件的有 A1 组B2 组 C3 组D4 组 分析使用方程理论和不等式性质 解 (1)p是 q的必要条件 (2)p 是 q 充要条件 (3)p 是 q 的充分条件 (4)p 是 q 的必要条件选A 说明： ab0 指其中至少有一个为零，而a2b20 指两个都为零 例 是 的条件7 x3 x3 x x x 1 2 1 12 x26 9 分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系 解 且 且 ，但当取， 时， 成立，而 不成立 与 矛盾 ，所以填“充分不 必要” x3x3xx6x x9x10 x2 (x2x3) 12121212 22 xx x x x x 1
6、2 12 1 2 6 9 3 3 说明： x3 x3 x30 x30 1 2 1 2 (x3)(x3)0 (x3)(x3)0 xx6 x x3(xx )90 12 12 12 1212 这一等价变形方法有时会用得上 例 8 已知真命题“ abcd”和“ abef ” ，则“ cd”是“ e f ”的 _条件 分析a bcd( 原命题 ) ， cdab(逆否命题 ) 而 abef ， cdef 即 cd 是 ef 的充分条件 答填写“充分” 用心 爱心 专心4 说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法 例 9 ax 22x 10 至少有一个负实根的充要条件是 A0a1 Ba1 C
7、a1 D0a1 或 a0 分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排 除法解之当a1 时，方程有负根x 1，当 a0 时， x 故排除、选 1 2 ABDC 解 常规方法：当 时， a0 x 1 2 当 a0 时 1a0ax2x100 2 1a0a1 2 ，则 至少有一个负实根 244 2 2 a a 2a0ax2x100 22 1a21a1a0 2 ，则 至少有一个负实根 244 2 a a 综上所述a1 即 ax2 2x1 0 至少有一个负实根的充要条件是a1 说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法 例 10 已知 p、q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条
8、件，q 是 s 的充分 条件，那么s，r ，p 分别是 q 的什么条件？ 分析画出关系图121，观察求解 解 s是 q 的充要条件； (srq，qs) r 是 q的充要条件；(rq，qsr) p 是 q的必要条件；(qsrp) 说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系 例 11 关于 x 的不等式 用心 爱心 专心5 |x|x3(a1)x2(3a1)0A BAB1a3a1 2 与 的解集依次为 与，问“”是“ 或 ”的充要条件吗？ ()()aa1 2 1 2 22 分析化简 A和 B，结合数轴，构造不等式(组) ，求出 a 解 A x|2a xa21， Bx|(x2)x
9、 (3a 1) 0 当 即 时，23a1a 1 3 Bx|2 x3a1 AB 2a2 a + 13a +1 1a3 23a1a 2 当 即 时， 1 3 Bx|3a 1x2 AB 2a3a +1 a +12 a1 ABa11a3 AB1a3a1 2 综上所述： 或 “”是“ 或 ”的充要条件 说明： 集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关在解题时 要理清思路，表达准确，推理无误 例 ，是的必要条件还是充分条件，还是充12 xyxy0 11 xy 要条件？ 分析将充要条件和不等式同解变形相联系 解当时，可得 即 100 1111 xyxy yx xy 则 或 ， 即 或 ， yx0 x
10、y0 yx0 xy0 xy xy0 x 0 y xy 用心 爱心 专心6 故不能推得 且有可能得到 ，即 且 并非的必要条件 11 0 11 xy xy xy xy xyxy0()xyxy 0 2xyxy0 xy x0 y0 xy x0 y0 xyxy0 当 且 则分成两种情况讨论： 或 不论哪一种情况均可化为 且 是的充分条件 11 11 xy xy 说明：分类讨论要做到不重不漏 例 13 设，是方程x2 axb 0 的两个实根，试分析a2 且 b1 是两根，均大于1 的什么条件？ 分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需 要搞清楚条件与结论分别指什么然后再验证是还是还是 p
11、qpqqp pq 解 据韦达定理得：，判定的条件是： 结论是 ： 还要注意条件中， ， 需要满足大前提 abp q(paba4b 0) 2 a b 2 1 1 1 (1) 1 a2b1由 得 ， ， 1 qp 上述讨论可知：a2，b1 是 1， 1 的必要但不充分条件 说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用 例 14 (1991年全国高考题 ) 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必 用心 爱心 专心7 要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C丙是甲的充要条件 D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 分析 1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件 分析 2：画图观察之 答：选 A 说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便
