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1、1,1.3函数极限,关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：,一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，,二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势,2,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,3,通过上面图形的观察:,问题:,如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.,5,2.另两种情形:,6,3.几何解释:,7,例1 证明,证,故不妨设|x|1，,而当|x|1时,8,9,二、自变量趋向有限值时函数的极限,先看一个例子,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为
2、f(x)当x1 时f(x)的极限。,10,11,12,注,定义习惯上称为极限的定义其三个要素： 10。正数，20。正数，30。不等式,定义中,所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态 并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近 的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目标， 而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x x0但 xx0,13,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于， 对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯 一的。由不等式 |f(x) A| 来选定， 一般地，越小，越小,2.几何解释:,14,例2 证明,证,于是,恒有,例3 设x00 证
3、明,15,证,恒有,例4 证明,证,（不妨设1）,16,17,例5 证明,证,不妨设,18,注,在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。,19,3.单侧极限:,例如,20,左极限,右极限,21,例6,证,左右极限存在但不相等,22,三、函数极限的性质,1.局部有界性,2.唯一性,3.不等式性质（局部）,定理(保序性),23,推论,定理(保号性),推论,24,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,25,证,26,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,Heine定理，又称归并原则,27,即,证明,设,即,恒有,再由,则对上述,有,又,故,28,设对,都有,要证,用反证法,若,即,但,现取,有,满足,即,但,29,例7,证,二者不相等,30,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),31,32,思考题,33,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,34,练 习 题,一、填空题:,35,36,练习题答案,37,38,39,40,41,42,43,44,返回,
