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1、“隐零点”现形一.问题描述：在利用导数探究函数性质的过程中，我们常常需要求出函数的极值点。而有时候导函数的零点无法直接求解出来的（解超越方程），这些无法直接求出来的零点我们称之为“隐零点”(即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达)二.解题思路：一般是先用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在性定理说明有零点，设方程的根为，再利用关系式去解决问题。三.典例解析例1. 设函数，设求证：当时，分析：要证明不等式，则只需证明函数的最小值大于等于0。可知，如果方程有解，无法解此超越方程，也就求不出函数的极值，进而解题受阻。可设，根据零点存在定理判断方程有解，设存在 ，使得，在此利用极值点与参数满
2、足的关系整体替换来处理.解析：的定义域为，设，当，即在区间为增函数，又因为，所以由零点存在定理可知在的唯一零点为当时，当，故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，由，即，两边去对数得所以所以点评：上述解法中我们注意到为超越方程，无法直接求方程根，而是在形式上假设， 这样处理的好处在于通过对满足的等式，的合理代换使用，快速将超越式化简为普通的代数式，然后使用均值不等式求出最小值同时消掉了，在求解的过程中，不要急于消掉而应该着眼于将超越式化简为普通的代数式，借助作整体代换，从而使问题获解.四.方法总结“隐零点”问题的一般解题步骤：第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；第3步：将零点方程适当变形，整体代人最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，五.巩固提高1. 设函数，是否存在实数,使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.解析： 令，其中则， 在单调递减，在区间必存在实根，不妨设即，可得（*）在区间上单调递增，在上单调递减，所以，代入（*）式得根据题意恒成立.由基本不等式,当且仅当时,等式成立所以,.代入（*）式得,即
