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1、定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有,例5:,解:,注: 本题沿不同方向,方向导数不同,三、梯度,设函数zf(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0 y0)D, 都可确定一个向量 fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度, 记作 gradf(x0 y0),即 gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos) 是与方向l同方向的单位向量, 则,gradf(x0 y0)el|gradf(x0 y0)
2、|cos(gradf(x0 y0),el),于是 grad f(1, 1, 2),例7 设f(x, y, z)x2y2z2, 求grad f(1, 1, 2),解,grad f(fx, fy, fz),(2x, 2y, 2z),(2, 2, 4),一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面和法线,7 偏导数的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导,设tt0和tt0t分别对应于曲
3、线上的 点M(x0, y0, z0)和 (x0+x, y0+y, z0+z),当 M, 即t0时,作曲线的割线,其方程为,得曲线在点M处的切线方程为,一、空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导,过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为,向量T(j(t0), y(t0), w(t0)称为曲线在点M0的切向量.,通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面, 其法平面方程为 j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0.,一、空间曲线的切线与法平面,例1.,求曲线,方程和法平面方程
4、.,切线方程,法平面方程,即,解: 由于,对应点(1,1,1)的参数,在点,所以,的切线,讨论:,1. 若曲线的方程为yj(x), zy(x), 则切向量T?,提示: 1. 曲线的参数方程可视为: xx, yj(x), zy(x), 切向量为T (1, j(x), y(x).,曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(j(t0), y(t0), w(t0).,2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T?,2. 两方程可确定两个隐函数: yj(x), zy(x).,切向量为T (1, j(x), y(x), 而j(x), y(
5、x)要通过解方程组得到.,例2. 求曲线,在点,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,解. 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,二、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面., 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在
6、.,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,例3. 求球面,在点(3 , 2 , 1) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (3 , 2 , 1) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,解,切平面方程为,法线方程为,例4 求旋转抛物面,在点(2,1,4),处的切平面及法线方程.,例5. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切
7、, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,练习. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,练习. 证明曲面,围成的四面体的体积是一常数.,解:,将其化为截距式,四面体体积,的切平面与三个坐标面,曲面在 M 点的法向量为,一、多元函数的极值及最大值、最小值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,7 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值及最大值、最小值,定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定 义 如果对于该邻域内任何点(x y) 都有,在点 (0,0) 有
8、极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值、极小值统称为极值 ,使函数 取得极值的点称为极值点.,注 1. 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一定是极值点.,如,定理1 (必要条件),函数,存在偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,故,2. 从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在极值点 (x0 y0 z0)处有切平面 则切平面 zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0) 成为平行于xOy坐标面的平面zz0,类似
9、地可推得 如果三元函数uf (x y z)在点 (x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的 必要条件为 fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有连续的二阶偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 P108,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,求函数,极值的一般步骤：,第一步,解方程组,求出实数解，得所有驻点.,第二步,对于每一个驻点(x0, y0),求出二阶偏导数的值,A、B 、C.,第三
10、步,定出AC-B2的符号，再判定是否是极值.,第四步,对偏导数不存在的点(包括边界点)，再判定 是否是极值点.,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,例2. 讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,注 不是驻点也可能是极值点.,因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导 数不存在的点, 那么对这些点也应当 考虑.,但(0 0)不是函数的驻点,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值.,多元函数的最值,作业：p-116 习题8.7 1(1,3); 3 (1),
