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1、第三节 三重积分的计算法,一、利用直角坐标计算三重积分,二、利用柱面坐标计算三重积分,三、利用球面坐标计算三重积分,可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算.,计算方法是将三重积分化为三次积分,三重积分,或单积分和二重积分.,一、 利用直角坐标计算三重积分,用平行于坐标面的平面族：,去分割积分区域,除边界外每个小块都是,一个长方体，于是得到,体积元素,得 ,把 分为下上两个边界：,以 的边界为准线,于是,将 向xoy面投影，,设 如图,母线平行于 z 轴的柱面,则,积分区域可表示为,(先一后二）,这是先对z，次对y，最后对x的三次积分,(先一后二）,若根据 是X型域或Y型域确定二重积分的积分限
2、,就得到化为三次积分的公式.,若 为X型域，则有,例1 计算 ,其中 为三个坐标面及 平面x2yz1所围成的区域.,解 在xoy面上的投影为,若 看成X型域，则,例2 将 化为直角坐标系下的 三次积分，其中 是由平面 xyz1， xy1，x0，y0，z1围成的区域.,的下底是xyz1，,的投影 是由 x + y=1，,x = 0，y =0围成的三角形域，,解,上底是z1的立体.,2）截面法（先二后一）,1）投影法（先一后二）,计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法,设区域 的 z 值的最大值,内任一点 z, 作平行于xoy的,平面与 交出截面,和最小值为 和 ，,先在 上对x,
3、y积分然后在 上对z积分.,2）截面法（先二后一）,过,二重积分的积分区域.,就是,这样得到,先求出 上的二重积分再求定积分.,先二后一,此法常用于 上的二重积分易求的情形,z的最小值和最大值为,例3 计算 ，其中 是由椭球 面 所围成的空间闭区域。,解 用先二后一法：,即,和 ，,的面积为,二 用柱面坐标计算三重积分,在xoy面上 就是极坐标.,设M（x,y,z）为空间 一点，如果将x，y，z 改用另外三个数 来表示，则称 为点M 的柱面坐标。,三组坐标面：,柱面与直角坐标的关系是,常数 （水平平面）,常数 （半平面）,常数 （圆柱面）,由图可知,用三组坐标面族去分割空间区域 ，其任一小块的
4、体积 可以 近似看成以 为底， 为高的柱体体积。,体积元素,因此,则积分区域在柱面坐标系下的表示为：,在柱面坐标系下,区域由直角变为柱面坐标表示,则三重积分化为柱面坐标的三次积分：,若,解 将积分区域 向xoy面投影，得,柱面坐标,例5 计算 其中 是由曲面 与平面 围成的区域.,解 在xoy面上的投影区域为圆域:,所以,例6 计算,其中,解 采用柱面坐标,问题,若例6中的积分区域改为,则,答 由对称性，有,思考题,在柱面坐标系下求三重积分可以看作 在直角坐标系对 作单积分，然后在投 影区域 上用极坐标作二重积分吗？,答：可以,三、用球面坐标计算三重积分,设M(x,y,z)为空间一点， 如果将
5、x, y, z 改用另外 三个数 r， ， 来表示, 则称 (r， ， )为点M 的 球面坐标。,球面坐标与直角坐标的关系是,分割空间区域,可以近似地看成是,高为 的长方体体积,积分元素,宽为,长为,其任一小块的体积,其中,一般将右端的形式化为先对r、次对 、最后对 的三次积分来计算。,三重积分在球面坐标系下的形式：,一般地，空间区域 包含原点在其内部，边界曲面为 则有,例如 当 为球面 时,例7 求半径为 的球面与半顶角 为 的内接圆锥 面所围成的立体 的体积(如图).,解 根据积分性质： 的度量，,将 用球面坐标表示 成不等式：,思考题：,球面方程,柱面,球面,柱面方程,直角,坐 标 系,1.填写下表中的空格：,2. 计算重积分应怎样选择合适的坐标系？ 应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？,相对而言，便于积分更重要一些.,小 结,1.柱面坐标系下,两种坐标系下三重积分的计算,由柱面与直角坐标的关系,有,若,则,的侧面由圆柱面或,且被积函数含有 常用柱坐标,2.球面坐标,由球面坐标与直角坐标的关系：,三重积分在球面坐标系下的形式：,其中,一般地，空间区域 包含原点在其内部，边界曲面为 则有,作 业,p.106 习题9-3,1.(1); (3); 2.,9.,10.,11.(1);(2);(3); 12.(1).,
