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1、可降阶高阶微分方程,第五节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第七章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例3. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.,考察最低点 A 到,( : 密度, s :弧长),弧段重力大小,按静力平衡条
2、件, 有,故有,设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?,任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例5. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,M : 地球质量 m : 物体质量,例6.,静止开始落向地面,(不计空气阻力).,解: 如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由,求它
3、落到地面时的速度和所需时间,两端积分得,因此有,注意：“”号,由于 y = R 时,由原方程可得,因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为,说明: 若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .,则定解问题为,例7. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例8.,二阶可导, 且,上任一点 P(x, y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以,解:,于是,在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .,积记为
4、,( 1999 考研 ),再利用 y (0) = 1 得,利用,得,两边对 x 求导, 得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,例6,例7,P323 1 (5) , (7); 2 (3); 3 ; 4,作业,第六节,速度,大小为 2v, 方向指向A ,提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有,去分母后两边对 x 求导, 得,又由于,设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v,备用题,的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从 (1, 0 ) 出发,试建立物体 B 的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,代入 式得所求微分方程:,其初始条件为,即,
