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1、第一章函数与极限,函数与极限微积分中的二个重要基本概念,函数高等数学研究的基本对象,极限是否采用极限的运算方法，是高等数学与 初等数学的根本区别,第一节 函 数,一函数概念：,常量与变量：,常量：某一变化过程中保持数值不变的量.,变量：在某一变化过程中取不同数值的量,一个量是常量还是变量只是相对而言的,例：同一地点的=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象),例：自由落体=gt2/2中的S与t都是变量.,函数的概念：,函数关系变量之间的依赖关系,函数定义：,设与是两个变量，如果对于在数集中所取的 每一个值，通过与之间的某一对应律, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是
2、上的函数. 记作：y=f(x)，x X 称为自变量，称为因变量称为函数的定义域 而所有对应的值组成的数集则称为函数的值域,函数的表示方法：,解析法 (如 y = f (x) 列表法 图象法 其 他,解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:,(分段函数),注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数,幂函数：= xa 指数函数：= ax 对数函数：=logax 三角函数：=sinx，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx .,二初等函数：,1基本初
3、等函数：(中学学过的）,2复合函数：形如：= f (x) ( u =(x) ),定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即 y = f (u) , u =(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作 y = f (x) ( y因变量 , u中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ) , x自变量 ),注:函数u=(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. 形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f(x),例：y = cos (2t+/3),那么拆成什么形式好呢?,.一般复合函数拆开的结果
4、应使拆成的每一个函数都是基本初等 函数或是它们的和,差,积,商.,将复合函数拆成简单函数：（重点）,例：,例：,可分解为 : y = cosx , x =2t+/3.,或: y = cos2x , x =t+/6,3初等函数,定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和 有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数， 称为初等函数,（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）,问：分段函数是否是初等函数？,不是初等函数，但它是一个函数.,例：,都是初等函数。,第二节 函数的极限,极限概念的引入:,例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .
5、,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限),例2 . 已知圆的半径为R , 求圆面积 S .,解题思路: 1.求圆的内接正多边形 (正 n 边形) 的面积 2.取极限 ( n时正 n 边形的面积即 为圆的面积),一.函数的极限:,对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:,1 . 自变量 x x0 时函数的极限.,2 . 自变量 x 时函数的极限.,xx0-0 时,函数的极限 xx0+0 时,函数的极限,x- 时,函数的极限 x+时,函数的极限,1 . x x0 时函数的极限:,记作 :,定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0
6、 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以 A 为极限 .,注: 仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义. “自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和 右趋近 (对于一元函数) ., . 函数的单侧极限 :,x从左侧趋近于x0时产生的极限. 记作 :,x从右侧趋近于x0时产生的极限. 记作 :,即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在,例 : 右图中的函数f(x) (分段函数),AB, 即左极限右极限,此函数 f
7、 (x)在 x0处的极限不存在.,2 . x 时函数的极限 :,函数在正无限处极限:,函数在负无限处极限:,函数在正负无限处极限:,例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x时极限是否存在?,解 : 当 x +时 , f (x) = arctgx /2 ,函数极限不存在 (当 x 时).,当 x -时 , f (x) = arctgx -/2 .,极限不存在的几种情形式 :,1 . 当 x x0 (x ) 时 , f (x) , 极限不存在 .,这时虽然 f (x) 的极限不存在 , 但也可记作 :,2 . 左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在.,3 . 当 x
8、x0 (x ) 时 , f (x) 的变化趋势振荡不定,此时函数极限 不存在 .,二. 无穷小和无穷大.,1 . 无穷小定义 : 以零为极限的变量就是无穷小量 .,例 : 当 x + 时 , 1/x 的极限为零 ;,注 : 称一个函数是无穷小量时 , 必须指出其自变量的变化趋势.,无穷小量是变量而不是常数 0 , 也不是很小的数 ( 如 10-10000) 但0可以看成是无穷小量。,当 x 1时 , x-1 的极限也是零 .,2 . 无穷大定义 : 在变化过程中其绝对值无限变大 , (无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反),例 : 当 x 0 时 , 1/x 的值无限增大 ;,注 : 称一
9、个函数是无穷大量时 , 必须指出其自变量的变化趋势.,无穷大量是变量 , 而不是一个很大的量 ., . 无穷大量 , 无穷小量是变量 , 而不是一个确定的量 .,当 x /2 时 , y = tgx 的绝对值 y无限增大 .,3 . 无穷小与无穷大的关系 :,互为倒数关系,例 : 当 x 0 时 , 1/x 为无穷大量 , 而 x 为无穷小量 .,(在同一变化过程中).,4 . 无穷小定理 :,定理1 . 函数 f (x) 以A为极限的充分必要条件是函数 f (x)与常数A 之差是一个无穷小量 .,即 lim f (x) =A 成立的充要条件是 : lim f (x) -A = 0,亦即 ,
10、若函数 f (x)以A为极限 , 若设 f (x) -A =, 则为该极限过程中的无穷小量 .,定理2 .有限个无穷小的代数和仍为无穷小量 .,定理3 . 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量 .,(有界函数 : 若函数 f(x) 在某个区间 X内满足 : Af(x)B , 其中 A , B 是两个定数 , 则称 f (x)在区间X内有界 , A下界 , B上界).,推论1. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量 .,推论2. 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量 .,5 . 无穷小的比较 : 设,为两个无穷小 ., 若 lim / = 0 (或 lim / =) , 则称是比高阶的无穷小 或称是比低阶的
11、无穷小 .,若 lim / = k0 , 则称与是同阶无穷小 .,特别地若 lim / =1 ,则称与是等价无穷小 . 记作 : ,即 lim / =,0 是比高阶的无穷小., 是比低阶的无穷小 .,k0 与是同阶无穷小 .,1 与是等价无穷小.,在求等价无穷小的比值的极限时,可将其中每一个(或仅仅一个) 换为与其等价的无穷小. 即 若1,1, 则lim / = lim 1/ = lim / 1 = lim 1/ 1,注:等价无穷小有一个很有用的性质:,例: 求,三 . 极限的四则运算法则 :,定理: 设在某变化过程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,则有: lim f
12、 (x)g (x)=lim f (x) lim g (x) =AB. lim f (x) g (x) =lim f (x) lim g (x) =AB lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B0),性质: lim C=C ( C为常量) . limC f (x) = C lim f (x) lim f (x)n = lim f (x)n (n为正整数).,当 xx0时,若分母极限不为0,则可直接应用商定理求出其极限. 若分母的极限为0时,想法消去使分母极限为零的因子,而后用 商定理出其极限 .,求分式函数的极限时,可能会遇到 0/0型
13、, /型 , 0型等极限, 这时需对分式函数作恒等变换,而后约去公因式,化为可求解 的 形式. 利用罗必塔法则求解.,四 . 两个重要极限 :,一 . 函数的增量 :,函数 y =f (x) , 当自变量 x 从 x0 变到 x1 时 , 函数 y 就从 f (x0)变到 f (x1) , 这时称 x=x1-x0为自变量 x的增量 , 称y= f (x1) -f (x0)或y= f (x0+ x) -f (x0)为函数 在 x=x0处的增量.,函数增量的几何意义:,记作: y= f (x1) -f (x0) 或 y= f (x0+ x) -f (x0),二.函数的连续点与间断点:,1.连续性定
14、义:,于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:,连续函数的几何意义:,由定义知:函数y=f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件:, f (x)在点x0及其附近有定义.(要求比极限存在的条件高),2 . 间断点: 不满足以上三个条件之一的点就叫做 f(x)的间断点.,而f (0) =1,y= f (x) 在 x =0处不连续.,(若定义中 x=0 时 , f (x) =0 , 则 f (x) 在 x=0 处连续),3 .函数的左连续与右连续:,4 .函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是:,(即充要条件为: f (x)在x0点既是左连续又是右连续),5 . 连续点与极限的关系:,
15、函数在x0点处连续,函数在x0处极限存在,(回忆极限定义与连续点定义),解: f (x) 在点 x=3 处没有定义.,点 x=3 是一个间断点.,例 : 考察函数 的间断点.,(虽然 极限存在), x0 时, 函数的极限不存在., x = 0 点是间断点 , 而其余点是连续的.,三. 在区间上连续的函数:,1 . f (x)在开区间(a , b)上连续 :,如果函数 f (x)在开区间 (a , b)上每一点都连续 , 则称函数 f (x)在开区间(a , b)上连续 .,2 . f (x)在闭区间a , b上连续 :,如果函数 f (x) 在开区间 (a , b)上连续 , 且有 (即 f(
16、x) 在左端点处右连续) , , (即 f(x)在 右端点处左连续) , 则称函数f (x)在闭区间a , b上连续.,它们在区间 (- , +)上是连续的.,解 : x =0 处函数无定义.,函数在 x =0 点处是间断点 , 即在 (- , +)不是都连续的.,在闭区间上连续函数的两个性质:,定理1. (最大值最小值定理),在闭区间上的连续函数在该区间上至少取得它的最大值和最小值 各一次.,即一段连续曲线必有最高点和最低点.,定理2. (介值定理):,如果函数 y=f (x)在闭区间a , b上连续 , 且f (a)f (b) , 则对介于 f (a)和 f (b)之间的任何值C,在开区间(a , b)内至少存在一点,使 f ()=C , (ab).,其几何意义: 连
