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1、第2章 测量误差和数据处理,授课课时：3学时 主要内容：测量误差、误差的定义；误差的分析方法误差的类型，误差的处理方法。 重点和难点:误差的定义、误差的分析方法、误差的类型，随机误差的处理及合成，随机误差分析、系统误差分析、测量数据的处理,主要章节,2.1 测量误差 2.2 测量误差的来源 2.3 误差的分类 2.4 随机误差分析 2.5 系统误差分析 2.6 间接测量的误差传递与分配 2.7 误差的合成 2.8 测量数据的处理 2.9 最小二乘法,2.1 测量误差,1.误差(术语、名词） 1）真值A0 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值 。 2）指定值As 一般由国
2、家设立各种尽可能维持不变的实物标准 (或基准)，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。 3）实际值A 国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值。,4）标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。 5）示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。 6）测量误差 测量仪器的测得值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。 7）单次测量和多次测量,8）等精度测量和非等精度测量 等
3、精度测量: 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量。 非等精度测量: 如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维持不变 (比如，改变了测量方法，或更换了测量仪器，或改变了联接方式，或测量环境发生了变化，或前后不是一个操作者，或同一操作者按不同的过程进行操作，或操作过程中由于疲劳等原因而影响了细心专致程度等)，这样的测量称为非等精度测量或不等精度测量。 2.误差的表示方法,1）绝对误差: 绝对误差定义为 x=x-A0 式中 ： x为绝对误差，x为测得值，A0为被测量真值。 2）相对误差 实际相对误差 示值相对误差,满度（或引用）相对误差:（通常用于表达
4、精度） 满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差与仪器满度值（量程上限值）的百分比值,2.2 测量误差的来源,仪器误差 又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等 的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件 磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。 2人身误差 人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉 疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断 不准确而造成的误差 。,3影响误差 影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而 造成的误差。 4方法误差 方法误差是所使用的测量方法不当，或对测量设 备操作使用不当，或测量所依据的理论不严格，或对 测量计算公式不适当简化等原因而造成的
5、误差，方法 误差也称作理论误差。,2.3 误差的分类,1.系统误差 在多次等精度测量同一恒定量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差，称为系统误差，简称系差。 2.随机误差： 随机误差又称偶然误差，是指对同一恒定量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差。 3.粗大误差： 在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。,只有随机误差,累进系统误差,恒定系统误差,周期性系统误差,1.随机误差（偶然误差）的定义 是指在相同条件下，对同一恒定量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差。 就单次测
6、量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为对称性、有界 性、单峰性、抵偿性。,2.4 随机误差分析,问题,测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？ 例如：测量室温，6次测量结果分别为19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,那么室温究竟是多少呢？,X=A，置信概率为p x的真值落在A-， A+区间内的概率为p。 A和如何确定呢？,2.测量值的数学期望和标准差,1）数学期望 对被测量x进行等精度n次测量，得到n个测量值x1，x2，x3，xn。则n个测得值的算术平均值为：,当测量次数 时，样本平均值
7、的极限定义为测得值的数学期望。,当测量次数 时，测量值的数学期望等于被测量的真值。,分析：,根据随机误差的抵偿特性，当 时 =0，即,所以，当测量次数 时，测量值的数学期望等于被测量的真值。,2)剩余误差（残差）,当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。,数学表达式：,对上式两边求和得：,所以可得剩余误差得代数和为0。,4)标准差（标准误差，均方根误差）,反映了测量的精密度，小表示精密度高，测得值集中，大，表示精密度底，测得值分散。,3.)方差,3.随机误差的正态分布分析,正态分布 高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。,随机误差,标准误差,曲线下面的面积
8、对应误差在不同区间出现的概率。,例如：,从正态分布曲线可看出： 绝对值越小， 愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。 大小相等符号相反的误差出现的概率相等。,愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈大，正态分布曲线愈平缓。说明反映了测量的精密度。, =1 =2,4.随机误差表达式 1）剩余误差的表达形式 2）最大绝对误差表达形式 3）标准偏差的表达形式 4）算术平均误差表达形式,5)或然误差表达形式6)极限误差,从上式可见，随机误差绝对值大于3的概率很小，只有0.3%，出现的可能性很小。因此定义：,随机误差的特点,单峰性 误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越大，出现密度越小 对称性 绝对值相同，符号
9、相反的误差出现的概率相等 抵偿性 当测量次数n时，误差总和为零 有界性 误差落-3, 3的概率为0.9973 3也称为极限误差或者误差限,5.标准偏差的计算贝塞尔公式,采用残差代替随机误差 有限次测量标准误差的最佳估计值 （近似标准误差）,标准差（标准误差，均方根误差）：,贝塞尔公式,算术平均值的标准差和标准差的标准差 1）算术平均值的标准差,2）平均值标准误差的最佳估计值（近似平均值标准误差）,7.有限次测量下测量结果表达式 步骤： 1）列出测量数据表；,2）计算算术平均值 、 、 ；,3）计算 和 ；,置信概率0.9973,4）给出最终测量结果表达式：,2.5 系统误差分析,N(t),A,
10、x,N(t),A,x,N(t),A,x,累进系统误差,恒定系统误差,周期性系统误差,1.分类： 恒定系统误差 变化系统误差,2.系统误差的判断 1)理论分析法：可通过对测量方法的定性分析发现测量方法或测量原理引入的系统误差。 2)校准和比对法：测量仪器定期进行校准或检定并在检定书中给出修正值。 3)改变测量条件法：根据在不同的测量条件下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。 4)剩余误差观察法：根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律可判断有无系统误差及误差类型，这种方法不能发现定值系统误差。,3消除系统误差产生的根源 要减少系统误差要注意以下几个方面： 1)采用的测量方法及原理正确。 2)
11、选用的仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。 3)测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。 4)条件许可，尽量采用数显仪器。 5)提高操作人员的操作水平及技能。,4.削弱系统误差的方法 1)零示法:,2)替代法（置换法）： 在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替代待测量，通过调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的值等于被测量。 这两种方法主要用来消除定值系统误差。,3)利用修正值或修正因数加以消除。 4)随机化处理 5)智能仪器中系统误差的消除 直流零位校准。 自动校准。,2.6 间接测量的误差传递与分配,研究函数
12、误差一般有以下三个内容： 1)已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即间接测量的误差。 2)已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。 3)确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。,1.间接测量的误差传递 假设间接测量的数学表达式为：,将上式按泰勒级数展开,直接测量值,间接测量值,略去高阶项 1）间接测量的绝对误差：,2）间接测量的相对误差：,3）间接测量的标准差 4）间接测量的误差传递公式,2.系统误差的函数传递 当系统误差为已定系统误差时将各直接测量的系统误差代入上式计算即可。当系统误差为未定系统误差，当各分项数小于10可采用绝对和法，当各分项数大于10可采用方和根法。,绝对和法：,
13、方和根法：,3.常用函数的误差传递 1）和差函数的误差传递 设 ， 则绝对误差,若误差符号不确定：,相对误差：,2）积函数误差传递 设 ， 则绝对误差,若误差符号不确定：,相对误差：,3）商函数误差传递 设 ，则绝对误差,相对误差：,若误差符号不确定：,4）幂函数的误差传递 设 ，则绝对误差,相对误差：,若误差符号不确定：,例6：已知：R1=1k，R2=2 k， ， ， 求 。,解：,结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差保持不变。,例7：温度表量程为100，精度等级1级，t1=65，t2=60，计算温差的相对误差。,解1： ,例8：已知 ， ， ， ，求 。,解：,4.间接测量的误差
14、分配,已知各个直接测量的标准误差 ， ， ，则,部分误差,相对误差,解决误差分配问题。通常采取的方法为等作用原则，调整原则。 所谓等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等D1=D2=Dn,按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。,例9：散热器装置： ，设计工况L=50L/h，进出口温差 。,按照题意，误差应写成极限误差的形式。即,分析：直接测量为流量L，散热器进出口温度t1、t2。间接测量为热量Q。要求测量误差小于等于10%。,按照等作用原则，可得流量及温差的部分误差分别为7.1
15、%。 再根据实际情况选择调整。,2.7误差的合成,误差合成 由多个不同类型的单项误差求测量中的总误差是误差合成问题。,1、随机误差合成 若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准方差分别为1、2、3、k则随机误差合成的总标准差为：,若以极限误差表示，则合成的极限误差为：,当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。,2、系统误差的合成 1）确定的系统误差的合成 又称已定系统误差，是指测量误差的大小、方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定的系统误差，都应当用代数的方法计算其合成误差。 表达式：,由于所得结果是明确大小和方向的数值，故可直接在测量结果中修正，在一般
16、情况下最后测量结果不应含有已定系统误差的内容。,2）不确定系统误差的合成,不确定系统误差又称未定系统误差，指测量误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预测的随机误差一面。在通常情况下，未定系统误差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。,绝对值合成法：,当m大于10时，合成误差估计值往往偏大。一般应用于m小于10。,表达式：,方和根合成法,一般应用于m大于10。,表达式：,例5：,0.5级，量程0600kPa，分度值2kPa，h=0.05m，读数300kPa，指针来回摆动1个格，环境温度30C，偏离1C的附加误差为基本误差的4%。,仪表精度等级引起的误差：,读数误差（即分度误差） 2kpa,环境温度引起误差：,安装位置引起的误差：,前三项属于未定
