第三章线性系统的时域分析资料讲解

《第三章线性系统的时域分析资料讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章线性系统的时域分析资料讲解（114页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章 线性系统的时域分析,3.1 动态和稳态性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 线性系统的稳定性分析 3.5 控制系统的稳态误差 3.6 基于MATLAB的线性系统时域分析 小结,时域分析给系统施加一输入信号，通过研究系统的输出（响应）来评价系统的性能。 如何评价一个系统性能的好坏，有一些动态和稳态的性能指标可以参考。,3.1 动态和稳态性能指标,在学习这些性能指标之前，首先来看一下系统所常用的一些典型输入信号。 一、典型输入信号 1. 阶跃函数 阶跃函数(见图3-1(a)的时域表达式为,式中,R为常数,当R 1时,r(t)=1(t)为单位阶跃函数。,图

2、 3-1 典型输入信号,3. 抛物线函数（等加速度函数） 抛物线函数(见图3-1(c)的时域表达式为,式中，R为常数。当R1时, r(t)=t2/2为单位加速度函数。因为dr(t)/dt=Rt, 所以斜坡函数为抛物线函数对时间的导数。,4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d)的时域表达式为,式中，h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限, 则有,称此函数为单位脉冲函数。(见图3-1(e),5. 正弦函数 正弦函数(见图3-1(f)的时域表达式为,式中, A为振幅, 为角频率。,二、动态过程和稳态过程 1.动态过程 动态过程又称过渡过程或瞬态过程, 指系统在典型输入信号作

3、用下, 系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。 动态过程一般表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的。动态过程除提供系统的稳定性信息外，还可以给出响应速度、阻尼情况等信息。这些信息用动态性能指标描述。,2.稳态过程 稳态过程(稳态响应)，是指当时间t趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度， 提供系统有关稳态误差的信息， 用稳态性能指标来描述。 控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。,三、动态性能指标和稳态性能指标 1. 动态性能指标 动态性能指标

4、通常根据系统的单位阶跃响应曲线定义。设系统单位阶跃响应曲线如图3-2所示。 系统输出的稳态值为,图 3-2 系统单位阶跃响应曲线,动态性能指标通常有以下几种： 上升时间tr： 若阶跃响应不超过稳态值，上升时间为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间； 对于有振荡的系统，上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。 峰值时间tp： 阶跃响应曲线超过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间。 ,调节时间ts： 在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数(通常取 5%或 2%)作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需的时间。 最大超调量p：

5、设阶跃响应的最大值为c(tp)，则最大超调量p可由下式确定:,振荡次数N：在0tts内，阶跃响应曲线穿越稳态值c()次数的一半称为振荡次数。 上述动态性能指标中，常用的指标有tr、ts和p。上升时间tr评价系统的响应速度；p评价系统的运行平稳性或阻尼程度；ts为能同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,2. 稳态性能指标 系统稳态性能指标：稳态误差。 若时间趋于无穷时, 系统输出量不等于输入量, 则系统存在稳态误差。可见，稳态误差是一种度量控制系统精度的指标。,3.2 一阶系统的时域分析,图 3-3 (a) 一阶系统结构图； (b) 简化结构图,一阶系统的闭环传递函数为：,一、单位阶跃响应

6、对于单位阶跃输入,有,由拉氏反变换得，一阶系统的单位阶跃响应c(t)为,式中，cs(t)=1是稳态分量, 由输入信号决定。ct(t)=e-t/T是瞬态分量(暂态分量), 当t时, 瞬态分量按指数规律衰减到零。,一阶系统单位阶跃响应的典型数值：,图 3-4 一阶系统单位阶跃响应曲线,单位阶跃响应曲线如图3-4所示,曲线特点：在 t=0 处的切线斜率为,取 5%的误差带 ts=3T 取 2%的误差带 ts=4T,二、单位脉冲响应 对于单位脉冲函数 r(t)=(t), R(s)=1 输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即,由拉氏反变换得系统单位脉冲响应,结论： 一阶系统的单位脉冲响应是其单位阶跃

7、响应的导数,单位阶跃响应,单位脉冲响应,满足导数关系,理论：如果线性定常系统的输入满足导数关系，则系统的输出也满足相应导数关系。,因此,研究线性定常系统的输出响应,不必对每种输入信号进行计算,往往只取其中一种典型形式进行研究即可。,3.3 二阶系统的时域分析,一、二阶系统的各种状态 典型的二阶系统结构图如图3-5所示，它是一个由惯性环节和积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。,图3-5 二阶系统结构图,令,系统闭环传递函数为,则系统闭环传递函数化为如下标准形式：,式中， 称为阻尼比, n称为无阻尼自然振荡角频率。,因此，系统结构图可化简为如图3-6所示结构。,所以, 系统的两个特征根(极点

8、)为,图3-6 二阶系统结构简图,二阶系统的特征方程为,随着阻尼比 取值不同, 二阶系统特征根(极点)也不相同。,1. 欠阻尼状态(0 1) 当0 1时, 两特征根为,是一对共轭复数根, 如图3-7(a)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,2. 临界阻尼状态( =1) 当 =1时, 特征方程有两个相同的负实根, 即 s1,2= -n 如图3-7(b)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,3. 过阻尼状态( 1) 当 1时, 两特征根为,为两个不同的负实根, 如图3-7(c)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,4. 无阻尼状态( =0) 当 =0时, 特征方程有一对共轭纯虚数根,

9、 即,如图3-7(d)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,二、二阶系统的单位阶跃响应 已知r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为,对上式求拉氏反变换, 可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的输出c(t),（1）,1. 欠阻尼状态(0 1) 在这种情况下, 式(1)可以展成如下部分分式形式：,式中, 称为阻尼自然振荡角频率。式(2)的拉氏反变换为,（2）,（3）,由式(3)可知, 在欠阻尼状态下, 二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线(如图3-8所示)。衰减速度取决于特征根实部的绝对值 的大小, 振荡角频率是特征根虚部的绝对值

10、, 即阻尼自然振荡角频率 , 振荡周期为,2. 无阻尼状态( =0) 当 =0时, 系统的单位阶跃响应为,所以, 无阻尼情况下系统的单位阶跃响应是等幅正(余)弦振荡曲线(如图3-8所示), 振荡角频率是n。,3. 临界阻尼状态( =1) 当 =1时,系统输出的拉氏变换为,对上式进行拉氏反变换得,二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线(如图3-8所示)。,4. 过阻尼状态( 1) 这种情况下, 系统存在两个不等的负实根, 即,系统输出的拉氏变换为,式中,取上式的拉氏反变换可得 过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为,(t0),系统的响应c(t)中包含了两个衰减的指数项, 其

11、响应曲线如图3-8所示。,图 3-8 二阶系统的单位阶跃响应曲线,从图中可以看出, 随着阻尼比 的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 =0时是等幅振荡, 1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼情况对应的调整时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4 0.8时, 调整时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。因此在控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希望二阶系统工作在0.4 0.8的欠阻尼状态。,三、二阶系统的性能指标,1. 欠阻尼状态(0 1),上升时间 tr 根据上升时间的定义, 上升时间满足,所以有,得,因为上升时间tr 为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。,所

12、以令上式中的n=1，得上升时间tr 为,峰值时间 tp 在峰值时间tp处，输出c(t)为最大值。 将系统单位阶跃响应c(t)对时间求导, 并令其为零, 即,得,整理、变换得,根据三角函数的周期性, 上式成立需满足： dtp=0, ,2, 3， 由于峰值时间是输出响应达到第一个峰值所对应的时间, 因此应取,得峰值时间为,最大超调量p 最大超调量发生在峰值时间tp，将tp代入c(t)得,得最大超调量,调节时间ts,由近似公式，当0 0.8时，,若取=5%，,若取=2%,振荡次数N,当0 0.8时，,图 3-9 二阶系统结构图,例1 某二阶系统如图3-9所示, 其中系统的结构参数=0.6, n=5r

13、ad/s。输入信号为单位阶跃函数, 求性能指标tr、tp、ts、p和N的数值。,所以,解 二阶系统闭环传函,因0 1，所以系统处于欠阻尼状态。 根据给定的参数可以得出,上升时间,峰值时间,最大超调量,调节时间,振荡次数,例2 设系统的结构图如图3-10所示。要求系统的性能指标为p=20%, tp=1s。试确定系统的K和KA值, 并计算性能指标tr、ts和N。 ,图3-10 控制系统框图,解 首先, 根据要求的p求取相应的阻尼比 ：,解得 =0.456。,其次, 由已知条件tp=1s和已求出的 =0.456 ，求无阻尼自然振荡频率n, 即,解得n=3.53rad/s。 此二阶系统的闭环传递函数，

14、由图3-10得,与标准形式 比较, 求K和KA值。,得K=12.5, KA=0.178。,最后计算tr、ts和N：,比较上两式得,3.4 线性系统的稳定性分析,一、稳定的基本概念 设一个线性定常系统原处于某一平衡状态, 若它瞬间受到某一扰动的作用偏离了原来的平衡状态, 当扰动消失后, 如果系统还能回到原有的平衡状态, 则称该系统是稳定的。 反之, 系统为不稳定的。, 线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移, 是逐渐收敛的,即 系统的时域响应能最终收敛到一个稳定状态, 则称该线性定常系统是稳定的; 反之，如果时域响应发散, 则该线性定常系统就是不稳

15、定的。,二、线性定常系统稳定的充分必要条件,线性定常系统传递函数的通式为,系统的特征方程式为,经过研究得出如下结论： 线性定常系统稳定的充分必要条件是, 特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征方程的根均在复平面的左半平面。 由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点, 因此也可以说, 线性定常系统稳定的充分必要条件是系统闭环传函的极点均在复平面的左半平面。, 若线性定常系统在复平面右半平面没有极点, 但虚轴上存在极点, 则称系统为临界稳定。在工程上, 临界稳定属于不稳定, 因为参数的微小变化就会使极点具有正实部, 从而导致系统不稳定。,三、劳斯稳定判据,根据线性定常系统稳定性

16、的充要条件, 我们可以通过求取系统特征方程式的根, 并检查根实部的符号来判断系统是否稳定。 但由于系统特征方程式一般为高次代数方程, 因此要计算其特征根并不是一件容易的事。,采用劳斯稳定判据, 可以不用求解特征方程, 而只根据特征方程系数做简单的运算, 就可以确定方程是否有(以及有几个)正实部的根, 从而判定系统是否稳定。 以下是劳斯判据的具体内容。,设控制系统的特征方程式为,将特征方程的各项系数排成下面形式的行和列, 即为劳斯表：,表中,一直计算到系数bi等零为止。 同样按照上述方法, 可以求出c, d, e, f 等系数, 即,劳斯表一共有n+1行。其中第n+1行仅第一列有值, 且正好是方程最后一项an。,劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充要条件是：特征方程的各项系数全部为正数，并且劳斯表中第一列所有项均为正数。系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。,注意 在展开的劳斯表中, 有时为了简化其后的数值运算, 可以让