统计物理说课材料

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1、1,热是人类最早发现的一种自然力，是地球上一切生命的源泉。 恩格斯,2,宏观物体是由大量不停地运动的分子组成。,用牛顿力学求解每个质点的运动，实际上不可能。,热现象：与宏观物体的冷热状态相联系的自然现象,研究热现象的性质和规律 热学,实验,模型,普遍性和可信性,热力学,宏观理论,热力学三大定律,统计物理,微观理论,统计方法,逻辑推理,统计规律,揭示本质，受模型局限,知其然而不知其所以然,涨落,3,1. 统计规律,- 大量偶然事件整体所遵从的规律.,加尔顿板实验:,单个粒子运动-偶然事件 (落入哪个槽),大量粒子运动-统计规律(粒子在槽中的分布),第21章 统计物理学基础,21-1 统计规律与概

2、率理论,一、加尔顿板实验,4,单个粒子遵循牛顿定律; 大量粒子遵从统计规律 - 牛顿运动定律无法说明,2.统计规律特点:,(2) 是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律.,(3) 与系统所处宏观条件有关.,(4) 存在起伏(涨落) .,实验总观测次数为N ,其中出现结果 A 的次数为 NA,事件A 出现的概率,(1) 对大量偶然事件有效, 对少量事件不适用。,不矛盾,3. 概率的基本性质,6,热力学系统,宏观量,表征系统整体性质的物理量（如体积、压强),微观量,广延量：有累加性(如质量、体积),宏观量是微观量的统计平均值,外界,热力学所研究的具体对象,系统边界以外的部分，环境,描写单个

3、微观粒子运动状态的物理量（如分子速度、能量),强度量：无累加性(如温度、压强),孤立系统、闭合系统、开放系统,21-2 温度与压强,7,平衡态,任何一个孤立系统，只要经过足够长的时间，必然将达到一个平衡态,稳定态 平衡态,驰豫时间,状态参量,描述系统平衡态的宏观参量,状态方程,状态参量之间的函数关系,一组态参量,一个平衡态,描述,对应,热力学参量：,在不受外界影响的条件下，系统宏观性质不随时间改变的状态,热动平衡,8,1) 思路: 压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生；,建立理想气体微观模型,利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动 ；,利用统计规律处理大量粒子的行为 ；,得到理想气体压强公式,(

4、1)气体分子看成质点； (2)除碰撞外,忽略其它力； (3)完全弹性碰撞； (4)分子的运动遵从经典力学规律,压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁单位面积上的平均冲量。,理想气体压强公式,理想气体分子微观模型：,9,vi,vi,vi =2vix,vi,vi,ds,x,vi,ds,x,vixdt,步骤3：求dt 时间内 ,各种速度分子对 ds 的总冲量。,该分子施于 ds 的冲量为,dt 时间内, 能与 ds 相撞的只能是位于底面积为 ds , 高为 vixdt 的斜柱体内的分子, 该分子数为,这些分子作用于 ds 冲量为：,2) 公式推导,10,步骤4：代入压强公式,为分子的平均平动动能,

5、dt内各种速度分子对ds 的总冲量为:,步骤5：求统计平均值,11,3) 推导中关于分子集体的统计性假设:, 每个分子运动速率各不相同，而且通过碰撞不断发生变化 ；,讨论:, 平衡态时，每个分子的位置处在容器内空间任何一点的概率是一样的，或者说，分子按位置的分布是均匀的。, 在平衡状态时，每个分子指向任何方向的概率都是一样的， 或者说，分子速度按方向的分布是均匀的,12,2. 气体分子平均平动动能与温度关系,温度是气体分子平均平动动能的量度 , 具有统计意义 。,13,例 在容积 V = 410-3 m3 的容器中，装有压强 p= 5102 pa 的理想气体，则容器中气体分子的平动动能总 和为

6、多少？,解：,14,例 下列各式中那一式表示气体分子的平均平动动能？,解 气体分子的平均平动动能为,答案 (A),15,例 一容器中贮有理想气体，压强为0.010mmHg 高，温度为270C，问在1cm3中有多少分子，这些 分子动能之总和为多少？,解：,分子平均平动动能为,故N个分子总动能：,16,21.3 三种统计规律,几个概念:,近独立子系:,经典粒子:,量子粒子:,运动状态用全同波函数描述，彼此不可区分。,构成体系的子系(粒子)间的相互作用能远小于各子系的能量。,可以用确定的坐标和动量来描述其状态, 彼此可以区分；,具有波粒二象性, 不能同时具有确定的坐标和动量 ,费米子(自旋为 半奇数

7、倍,遵从泡利不相容原理）,玻色子(自旋为 整数倍,不遵从泡利不相容原理）,17,一. 等概率假设,1.等概率假设,相应于同一个宏观态，系统可以有大量的不同的微观运动状态，其中每一个运动状态称为系统的一个微观态。,对于处在平衡态的孤立体系, 其各个可能的微观态出现的几率相等。,如果可能微观态总数为 W ，则系统的任意微观态出现的概率均为 1/W ,即:,- 等概率假设,等概率假设是平衡态统计理论的基础。,18,平衡态是概率最大的状态.,例：a b c d 4个可分辨热运动 粒子，在等容体 A ,B 两室中：,（中间隔板打开）,平衡态时 微观态数最多， 概率最大。,热力学认为： 孤立系统最终要达

8、到热力学平衡态。 统计物理学认为：系统自发地趋 向于最概然分布。,19,在各种可能的分布中,哪一种分布对应的微观状态的数目多，该分布的概率就大 - 概率最大的分布称为最概然分布。,2. 最概然分布,解释：什么是“分布”.,设有一系统，有大量近独立粒子组成，具有确定的粒子数 N, 能量 E,和体积 V。,以 i (i=1,2,) 表示粒子的第 i 个能级, gi 表示能级 i 的简并度， Ni 表示能级 i 上的粒子数，,满足两个约束条件(总粒子数和总能量守恒）的可能分布 是大量的。,对每一个分布还应有若干个微观态。,根据等概率假设，在满足约束条件下，系统中任一分布 出现的概率都应与该分布所对应

9、的微观态数成正比。,20,讨论过程中要用到等概率假设和约束条件。,约束条件:,（2）求 取最大值的分布, 即最概然分布；,(3) 求在最概然分布下, 每个能级上的粒子数,求最概然分布的思路：,孤立体系,21,二. 麦克斯韦-玻尔兹曼统计 ( M-B分布 ),经典粒子彼此可以区分, 每个量子态中的粒子数不受限制.,2个经典粒子在3个量子态中的可能分布,（共9种),(M-B分布),（2个不同粒子放入3个盒子，分2步完成。）,2个不同色子扔下，先扔1个，再扔另1个，共62种状态,22,(2) 个粒子分别占用能级 的 个量子态的占据方式为,因而,23,(2) 为使 极大, 令,利用斯特令公式,因而,2

10、4,由宏观约束条件,（3） 由宏观约束条件确定,由拉格朗日乘子法原理,25,最后可得,由,可得,经典粒子按能级的最概然分布,M-B分布,理论和实验证明,26,21.4 麦克斯韦气体分子速率分布律,1. 麦克斯韦分子速度分布律,利用M-B分布可导出在没有势场情况下， 理想气体按速度的分布规律。 对理想气体，在温度T的平衡态下:,分子速度在,的概率,27,利用,28,经典粒子按能级的最概然分布,M-B分布,29,2. 麦克斯韦分子速率分布律,如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小,由, 在T的平衡态下，理想气体分子速率在 v-v+dv 范围 内的概率,速率分布函数,- 概率密度,麦克斯韦速率分布

11、函数,满足归-化条件:,*,扩大为,30,麦克斯韦速率分布实验,银相对厚度,31,讨论:,(1) f (v)曲线下面积的物理意义 寛度为dv的窄条面积:,曲线下总面积:,V1-V2区间的面积:,32,（1） 最概然速率（最可几速率）,- f(v)-v曲线极大值所对应的速率 vp,vp 的物理意义： vp 附近概率密度最大 （同样速率间隔dv, 速率在 vp - vp+ d v 的分子数最多),由,及,（2） 由,同理，,3 三种速率,33,（2）平均速率,（3）方均根速率,vp,可以看出,34,2. 同一温度下，不同物质三种速率均与 成反比。 分子质量越小，速率越大，分布曲线右移。,1. 对同

12、一种气体， 三种速率均与 成正比； 温度越高，分子各种速率均增加，曲线右移。,35,物理意义？,速率大于V1的速率平均值,由,例,36,练习： 用总分子数 N , 气体分子速率 v 和速率分布函数 f (v) 表示下列各量：,（1） 速率大于 v0 的分子数 =,（2） 速率大于 v0 的那些分子的平均速率,(3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 v0 的几率,=,=,37,例 有N个粒子,其速率分布曲线如图所示,当v2v0时,f(v)=0 (1)求常数a;(2)求速率大于v0和小于v0的粒子数;(3)求粒子平均速率,解:由速率分布曲 线得速率分布函数,(1)由归一化条件,38,(2)

13、速率大于v0的粒子数N1为:,也为面积,速率小于v0的粒子数N2为:,(3)粒子的平均速率为:,39,玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式,外力场中, 粒子在,速度在,的分子数,对所有速度积分,由速度分布函数的归一化条件,得,得体积元dxdydz内的总分子数:,气体分子按能量的分布规律（玻尔兹曼能量分布律）,40,用空间粒子数密度表示:,n0为 Ep =0 处的粒子数密度,重力场中,重力场中粒子按高度的分布,- 恒温气压公式,41,空气密度,气体压强,可以看作单位面积上空气柱重量,由,重力场中粒子按高度的分布,另一种推导方法：,42,21.5 能量均分定理 理想气体的内能,自由度:,气体分子： 单

14、原子（看作质点） 3个平动自由度,双原子 3个平动自由度(质心), 2个转动自由度(联接方式),刚性 5个自由度（无振动）,非刚性 6个自由度,(1个振动自由度),确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数,多原子3个平动自由度, 3个转动自由度，若干个振动自由度,43,能量均分定理,在温度为 T 的平衡态下, 分子每一个可能的自由度都占有相同的平均动能，都等于 kT/2 。 - 能量均分定理,理想气体的平均平动动能为,在平衡状态下，由于分子的无规则运动，任何一种可能 的运动都不会比另一种可能的运动更占优势，上述结果推广 到转动和振动，故有：,平动动能对应质心的运动，它有三个自由度，所以每个 自由

15、度上的能量平均为 KT/2。,44,理想气体内能,1mol理想气体内能为:,质量为 M 的理想气体内能为:,设分子有 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度, 由于每个振动自由度又占有振动动能和振动势能 2 份能量 ,该分子的平均总能量为:,( i= t + r + 2s ),对于理想气体分子 (刚性分子 S = 0 ),单原子,双原子,多原子,45,例 能量按自由度均分原理的内容是什么？试用分子热 运动的特征来说明这一原理，并论证质量为 M 的理想气体，在 温度为 T 的平衡态下，其内能为,答： 1) 原理内容：在温度为 T 的平衡态下, 分子每一个可能的自由度都占有相同的

16、平均动能，都等于 kT/ 2 。,根据热运动的基本特点是无规则运动，任何一种可能的运动都不会比另一种可能的运动占优势，平均说来，相应于每一个可能的自由度的平均动能都应相等。,平动自由度为 3，故每个自由度能量为 kT/2 。,2) 设每一分子的自由度为 i，则其平均动能为,已知分子的平均平动动能为,理想气体的内能即为气体分子的平均动能的总和。,46,故 1mol 气体的内能为,质量为 M 的理想气体的内能为,47,例 用绝热材料制成的一个容器，体积为 2V0 ,被绝热板 隔成 A, B 两部分，A 内储有 1mol 单原子理想气体，B 内储有 2mol 双原子理想气体。 A, 两部分压强相等均为p0 ,两部分 体积均为V0 ，则,（1