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1、第 1页(共 22页) 2010 年全国统一高考数学试卷(理科) (全国新课标)年全国统一高考数学试卷(理科) (全国新课标) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分) 1 (5 分) (2010宁夏) 已知集合 AxR|x|2, 则 AB () A (0,2)B0,2C0,2D0,1,2 2 (5 分) (2010宁夏)已知复数, 是 z 的共轭复数,则() ABC1D2 3 (5 分) (2010宁夏)曲线 y在点(1,1)处的切线方程为() Ay2x+1By2x1Cy2x3Dy2x2 4 (5 分) (2010全国新课标)如图,质
2、点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置 为 P0(,) ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 () AB CD 5 (5 分) (2010宁夏)已知命题 p1:函数 y2x2 x 在 R 为增函数,p2:函数 y2x+2 x 在 R 为减函数,则在命题 q1:p1p2,q2:p1p2,q3: (p1)p2和 q4:p1(p2) 中,真命题是() Aq1,q3Bq2,q3Cq1,q4Dq2,q4 第 2页(共 22页) 6 (5 分) (2010宁夏)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发 芽的种子,每粒需再
3、补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为() A100B200C300D400 7 (5 分) (2010全国新课标)如果执行如图的框图,输入 N5,则输出的数等于() ABCD 8 (5 分) (2010全国新课标)设偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0) ,则x|f(x2) 0() Ax|x2 或 x4Bx|x0 或 x4Cx|x0 或 x6 Dx|x2 或 x2 9 (5 分) (2010宁夏)若,是第三象限的角,则() ABC2D2 10 (5 分) (2010宁夏)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面 上,则该球的表面积为() Aa2BC
4、D5a2 11 (5 分) (2010全国新课标)已知函数,若 a,b,c 互不相 第 3页(共 22页) 等,且 f(a)f(b)f(c) ,则 abc 的取值范围是() A (1,10)B (5,6)C (10,12)D (20,24) 12 (5 分) (2010宁夏)已知双曲线 E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,过 P 的直 线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(12,15) ,则 E 的方程式为() AB CD 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分) (2010宁夏)设 y
5、f(x)为区间0,1上的连续函数,且恒有 0f(x)1, 可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组(每组 N 个)区间0,1上 的均匀随机数 x1,x2,xN和 y1,y2,yN,由此得到 N 个点(xi,yi) (i1,2,N) , 再数出其中满足 yif(xi) (i1,2,N)的点数 N1,那么由随机模拟方案可得积分 的近似值为 14 (5 分) (2010宁夏)正视图为一个三角形的几何体可以是(写出三种) 15 (5 分) (2010宁夏)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy1 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为 16 (5 分) (2010宁夏)在ABC 中,D 为边
6、 BC 上一点,BDDC,ADB120, AD2,若ADC 的面积为,则BAC 三、解答题(共三、解答题(共 8 小题,满分小题,满分 90 分)分) 17 (12 分) (2010宁夏)设数列满足 a12,an+1an322n 1 (1)求数列an的通项公式; (2)令 bnnan,求数列bn的前 n 项和 Sn 18 (12 分) (2010宁夏)如图,已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形,ABCD,AC BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中点 ()证明:PEBC ()若APBADB60,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 第 4页(共 22页) 19 (1
7、2 分) (2010全国新课标)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随 机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如表: 性别 是否需要志愿者 男女 需要4030 不需要160270 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者 提供帮助的老年人比例?说明理由 P(K2k)0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 附:K2 20 (12 分) (2010宁夏)设 F1,F2分别是椭圆的
8、左、右焦点, 过 F1斜率为 1 的直线 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列 (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,1)满足|PA|PB|,求 E 的方程 21 (12 分) (2010宁夏)设函数 f(x)ex1xax2 (1)若 a0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x0 时 f(x)0,求 a 的取值范围 22 (10 分) (2010全国新课标)如图:已知圆上的弧,过 C 点的圆的切线与 BA 的 延长线交于 E 点,证明: 第 5页(共 22页) ()ACEBCD ()BC2BECD 23 (10 分) (2010全国新课标)已知
9、直线 C1(t 为参数) ,C2( 为参数) , ()当时,求 C1与 C2的交点坐标; ()过坐标原点 O 做 C1的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当变化时,求 P 点的轨 迹的参数方程,并指出它是什么曲线 24 (10 分) (2010全国新课标)设函数 f(x)|2x4|+1 ()画出函数 yf(x)的图象: ()若不等式 f(x)ax 的解集非空,求 a 的取值范围 第 6页(共 22页) 2010 年全国统一高考数学试卷(理科年全国统一高考数学试卷(理科) (全国新课标)(全国新课标) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题
10、,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分) 1 (5 分) (2010宁夏) 已知集合 AxR|x|2, 则 AB () A (0,2)B0,2C0,2D0,1,2 【分析】先化简集合 A 和 B,注意集合 B 中的元素是整数,再根据两个集合的交集的意 义求解 【解答】解:AxR|x|2,xR|2x2, 故 AB0,1,2 应选 D 【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法,涉及绝对值不等式和幂 函数等知识,属于基础题 2 (5 分) (2010宁夏)已知复数, 是 z 的共轭复数,则() ABC1D2 【分析】因为,所以先求|z|再求的值 【解答】解:由可得 另解: 故选:
11、A 【点评】命题意图:本题主要考查复数的运算,涉及复数的共轭复数知识,可以利用复 数的一些运算性质可以简化运算 3 (5 分) (2010宁夏)曲线 y在点(1,1)处的切线方程为() Ay2x+1By2x1Cy2x3Dy2x2 第 7页(共 22页) 【分析】欲求在点(1,1)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导 数求出在 x1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题 解决 【解答】解:y, y, 所以 ky|x12,得切线的斜率为 2,所以 k2; 所以曲线 yf(x)在点(1,1)处的切线方程为: y+12(x+1) ,即 y2x+1 故选:A 【点评】
12、本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识,考查运算求解能力属于基础题 4 (5 分) (2010全国新课标)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置 为 P0(,) ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 () AB CD 【分析】本题的求解可以利用排除法,根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离来确定 答案 第 8页(共 22页) 【解答】解:通过分析可知当 t0 时,点 P 到 x 轴距离 d 为,于是可以排除答案 A, D, 再根据当时,可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x
13、轴距离 d 为 0,排除答案 B, 故选:C 【点评】本题主要考查了函数的图象,以及排除法的应用和数形结合的思想,属于基础 题 5 (5 分) (2010宁夏)已知命题 p1:函数 y2x2 x 在 R 为增函数,p2:函数 y2x+2 x 在 R 为减函数,则在命题 q1:p1p2,q2:p1p2,q3: (p1)p2和 q4:p1(p2) 中,真命题是() Aq1,q3Bq2,q3Cq1,q4Dq2,q4 【分析】先判断命题 p1是真命题,P2是假命题,故 p1p2为真命题, (p2)为真命题, p1(p2)为真命题 【解答】解:易知 p1是真命题,而对 p2:y2xln2ln2ln2()
14、 , 当 x0,+)时,又 ln20,所以 y0,函数单调递增; 同理得当 x(,0)时,函数单调递减,故 p2是假命题 由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真 故选:C 【点评】只有 p1与 P2都是真命题时,p1p2才是真命题只要 p1与 p2中至少有一个真 命题,p1p2就是真命题 6 (5 分) (2010宁夏)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发 芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为() A100B200C300D400 【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,即不
15、发芽率为 0.1,故没有发芽的种子数服从二项分布,即B(1000,0.1) 又没发芽的补 种 2 个,故补种的种子数记为 X2,根据二项分布的期望公式即可求出结果 【解答】 解: 由题意可知播种了 1000 粒, 没有发芽的种子数服从二项分布, 即B (1000, 0.1) 而每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X 故 X2,则 EX2E210000.1200 第 9页(共 22页) 故选:B 【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质,考查解决应用问题的能力 属于基础性题目 7 (5 分) (2010全国新课标)如果执行如图的框图,输入 N5,则输出的数等于() ABCD 【分
16、析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是累加并输出 S的值 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出 S的值 S1 故选:D 【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型, 其处理方法是: :分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算 的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数 据进行分析管理)建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型 解模 8 (5 分) (2010全国新课标)设偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0) ,则x|f(x2) 第 10页(共 22页) 0() Ax|x2 或 x4Bx|x0 或 x4Cx|x0 或 x6 Dx|x2 或 x2 【分析】由偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0) ,可得 f(x)f(|x|)2|x|4,根 据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数,再求解不等式,可得答案 【解答】解:由偶函数 f(x