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1、第 1页（共 22页） 2010 年全国统一高考数学试卷（理科） （全国新课标）年全国统一高考数学试卷（理科） （全国新课标） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分） （2010宁夏） 已知集合 AxR|x|2， 则 AB （） A （0，2）B0，2C0，2D0，1，2 2 （5 分） （2010宁夏）已知复数， 是 z 的共轭复数，则（） ABC1D2 3 （5 分） （2010宁夏）曲线 y在点（1，1）处的切线方程为（） Ay2x+1By2x1Cy2x3Dy2x2 4 （5 分） （2010全国新课标）如图，质
2、点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置 为 P0（，） ，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 （） AB CD 5 （5 分） （2010宁夏）已知命题 p1：函数 y2x2 x 在 R 为增函数，p2：函数 y2x+2 x 在 R 为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3： （p1）p2和 q4：p1（p2） 中，真命题是（） Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q4 第 2页（共 22页） 6 （5 分） （2010宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发 芽的种子，每粒需再
3、补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（） A100B200C300D400 7 （5 分） （2010全国新课标）如果执行如图的框图，输入 N5，则输出的数等于（） ABCD 8 （5 分） （2010全国新课标）设偶函数 f（x）满足 f（x）2x4（x0） ，则x|f（x2） 0（） Ax|x2 或 x4Bx|x0 或 x4Cx|x0 或 x6 Dx|x2 或 x2 9 （5 分） （2010宁夏）若，是第三象限的角，则（） ABC2D2 10 （5 分） （2010宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面 上，则该球的表面积为（） Aa2BC
4、D5a2 11 （5 分） （2010全国新课标）已知函数，若 a，b，c 互不相 第 3页（共 22页） 等，且 f（a）f（b）f（c） ，则 abc 的取值范围是（） A （1，10）B （5，6）C （10，12）D （20，24） 12 （5 分） （2010宁夏）已知双曲线 E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过 P 的直 线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N（12，15） ，则 E 的方程式为（） AB CD 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分） （2010宁夏）设 y
5、f（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有 0f（x）1， 可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间0，1上 的均匀随机数 x1，x2，xN和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点（xi，yi） （i1，2，N） ， 再数出其中满足 yif（xi） （i1，2，N）的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分 的近似值为 14 （5 分） （2010宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种） 15 （5 分） （2010宁夏）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 xy1 相切于点 B（2，1） ，则圆 C 的方程为 16 （5 分） （2010宁夏）在ABC 中，D 为边
6、 BC 上一点，BDDC，ADB120， AD2，若ADC 的面积为，则BAC 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 90 分）分） 17 （12 分） （2010宁夏）设数列满足 a12，an+1an322n 1 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分） （2010宁夏）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点 （）证明：PEBC （）若APBADB60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 第 4页（共 22页） 19 （1
7、2 分） （2010全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随 机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表： 性别 是否需要志愿者 男女 需要4030 不需要160270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例； （2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者 提供帮助的老年人比例？说明理由 P（K2k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 附：K2 20 （12 分） （2010宁夏）设 F1，F2分别是椭圆的
8、左、右焦点， 过 F1斜率为 1 的直线 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列 （1）求 E 的离心率； （2）设点 P（0，1）满足|PA|PB|，求 E 的方程 21 （12 分） （2010宁夏）设函数 f（x）ex1xax2 （1）若 a0，求 f（x）的单调区间； （2）若当 x0 时 f（x）0，求 a 的取值范围 22 （10 分） （2010全国新课标）如图：已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与 BA 的 延长线交于 E 点，证明： 第 5页（共 22页） （）ACEBCD （）BC2BECD 23 （10 分） （2010全国新课标）已知
9、直线 C1（t 为参数） ，C2（ 为参数） ， （）当时，求 C1与 C2的交点坐标； （）过坐标原点 O 做 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当变化时，求 P 点的轨 迹的参数方程，并指出它是什么曲线 24 （10 分） （2010全国新课标）设函数 f（x）|2x4|+1 （）画出函数 yf（x）的图象： （）若不等式 f（x）ax 的解集非空，求 a 的取值范围 第 6页（共 22页） 2010 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （全国新课标）（全国新课标） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题
10、，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分） （2010宁夏） 已知集合 AxR|x|2， 则 AB （） A （0，2）B0，2C0，2D0，1，2 【分析】先化简集合 A 和 B，注意集合 B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意 义求解 【解答】解：AxR|x|2，xR|2x2， 故 AB0，1，2 应选 D 【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂 函数等知识，属于基础题 2 （5 分） （2010宁夏）已知复数， 是 z 的共轭复数，则（） ABC1D2 【分析】因为，所以先求|z|再求的值 【解答】解：由可得 另解： 故选：
11、A 【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复 数的一些运算性质可以简化运算 3 （5 分） （2010宁夏）曲线 y在点（1，1）处的切线方程为（） Ay2x+1By2x1Cy2x3Dy2x2 第 7页（共 22页） 【分析】欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导 数求出在 x1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题 解决 【解答】解：y， y， 所以 ky|x12，得切线的斜率为 2，所以 k2； 所以曲线 yf（x）在点（1，1）处的切线方程为： y+12（x+1） ，即 y2x+1 故选：A 【点评】
12、本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 4 （5 分） （2010全国新课标）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置 为 P0（，） ，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 （） AB CD 【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离来确定 答案 第 8页（共 22页） 【解答】解：通过分析可知当 t0 时，点 P 到 x 轴距离 d 为，于是可以排除答案 A， D， 再根据当时，可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x
13、轴距离 d 为 0，排除答案 B， 故选：C 【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础 题 5 （5 分） （2010宁夏）已知命题 p1：函数 y2x2 x 在 R 为增函数，p2：函数 y2x+2 x 在 R 为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3： （p1）p2和 q4：p1（p2） 中，真命题是（） Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q4 【分析】先判断命题 p1是真命题，P2是假命题，故 p1p2为真命题， （p2）为真命题， p1（p2）为真命题 【解答】解：易知 p1是真命题，而对 p2：y2xln2ln2ln2（）
14、 ， 当 x0，+）时，又 ln20，所以 y0，函数单调递增； 同理得当 x（，0）时，函数单调递减，故 p2是假命题 由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真 故选：C 【点评】只有 p1与 P2都是真命题时，p1p2才是真命题只要 p1与 p2中至少有一个真 命题，p1p2就是真命题 6 （5 分） （2010宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发 芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（） A100B200C300D400 【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，即不
15、发芽率为 0.1，故没有发芽的种子数服从二项分布，即B（1000，0.1） 又没发芽的补 种 2 个，故补种的种子数记为 X2，根据二项分布的期望公式即可求出结果 【解答】 解： 由题意可知播种了 1000 粒， 没有发芽的种子数服从二项分布， 即B （1000， 0.1） 而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X 故 X2，则 EX2E210000.1200 第 9页（共 22页） 故选：B 【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力 属于基础性题目 7 （5 分） （2010全国新课标）如果执行如图的框图，输入 N5，则输出的数等于（） ABCD 【分
16、析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是累加并输出 S的值 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出 S的值 S1 故选：D 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 其处理方法是： ：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算 的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数 据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 8 （5 分） （2010全国新课标）设偶函数 f（x）满足 f（x）2x4（x0） ，则x|f（x2） 第 10页（共 22页） 0（） Ax|x2 或 x4Bx|x0 或 x4Cx|x0 或 x6 Dx|x2 或 x2 【分析】由偶函数 f（x）满足 f（x）2x4（x0） ，可得 f（x）f（|x|）2|x|4，根 据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案 【解答】解：由偶函数 f（x
