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1、 数学分析3 模拟试题一、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、 设求；2、求3、设求在点处的值；4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；5、求函数在点处的梯度；6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；7、计算积分：；8、计算积分：；二、 (10分)求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。三、 （10分）若是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求四、 （10分）计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .五、 （10分）计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。六、 （10分）计算，其中是半球面。七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参
2、考答案一、解答下列各题（每小题5分，共40分）1、 设求；解：； 。2、求；解： 3、设求在点处的值；解：。4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；解：在原方程的两边求微分，可得将代入上式，化简后得到 5、求函数在点处的梯度；解： 。6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；解：记 在点（1，2，0）处的法向量为： 则切平面方程为：即 法线方程为：，即。7、计算积分：；解：而在上连续，且在1，2上一致收敛，则可交换积分次序，于是有 原式。8、计算积分：；解：交换积分顺序得：八、 求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x,y,z）
3、，则长方体的体积为：拉格朗日函数为 由 解得：根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大。九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求解：十、 计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .解：。十一、 计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。解：由格林公式：所以十二、 计算，其中是半球面。解： 十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解：，而收敛， 所以由M判别法知，在内的一致收敛。 数学分析3 模拟试题十四、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；2、，求；3、设，求；4、设是方程所确定的与的函数，求；5、求函数在点处沿从点到点的方
4、向导数；6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。7、计算积分：;8、计算积分：；二、 (10分)原点到曲线的最大距离和最小距离。三、（10分）已知，其中为球体：，求四、（10分）计算，其中D是由圆周所围成的区域。五、（10分）计算，其中为圆周，取逆时针方向。六、（10分）计算，其中为锥面被拄面所割下部分。七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案十五、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；解：。2、，求；解：。3、设，求；解：。4、设是方程所确定的与的函数，求；解：方程两边求微分，得。5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；解：方向即向量的方向，因此
5、x轴到方向的转角。 故所求方向导数为：。6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。解：设P点的坐标为，则P点处的切平面为 又因该平面与平面平行， 则有 ，即。7、计算积分：;解：而在上连续，且在2，3上一致收敛，则可交换积分次序，于是有 原式。8、计算积分：；解：交换积分顺序得：三、 原点到曲线的最大距离和最小距离。解：设P（x,y,z）为曲线上任意点，则目标函数为，约束条件为，建立拉格朗日函数：由 得驻点：和，根据实际情况必有最大值和最小值，。四、 已知，其中为球体：，求解：用球坐标计算，得故。四、计算，其中D是由圆周所围成的区域。解：由对称性知：故五、计算，其中为圆周，取逆时针方向。解：由格林公式：所以 。六、计算，其中为锥面被拄面所割下部分。 解：在xoy面上的投影为 八、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解：当时，而收敛，所以由M判别法知，在内的一致收敛。
