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1、3.131.1倾斜角与斜率预习课本P8285，思考并完成以下问题 1直线的倾斜角的定义是什么？ 2直线的倾斜角的范围是什么？ 3直线的斜率的计算公式是怎样的？ 1直线的倾斜角(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l的倾斜角是BPx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是0180，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.点睛(1)倾斜角定义中含有三个条件：x轴正方向；直线向上的方向；小于180的非负角(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线
2、，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等2直线的斜率(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度点睛直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率()(2)倾斜角为135的直线的斜率
3、为1()(3)若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan ()(4)直线斜率的取值范围是(，)()答案：(1)(2)(3)(4)2若直线l经过原点和(1,1)，则它的倾斜角是()A45 B135C45或135 D45解析：选B作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.3已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B.C1 D.解析：选A由题意可知，直线l的斜率ktan 30.直线的倾斜角典例设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45 B135C135 D45或135解析由倾斜角的取值范围知，只有当045180(0180
4、)，即0135时，l1的倾斜角才是45.而0180，所以当135180时，l1的倾斜角为135(如图)答案D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180. 活学活用已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A090 B90180C90180 D0180解析：选C直线倾斜角的取值范围是0180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.直线的斜率典例经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在
5、，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)解(1)存在直线AB的斜率kAB1，即tan 1，又0180，所以倾斜角45.(2)存在直线CD的斜率kCD1，即tan 1，又 0180，所以倾斜角135.(3)不存在因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角90.(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置(2)在01
6、80范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角0304560120135150斜率k011活学活用1直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()A. B.C D 解析：选C斜率k.2已知坐标平面内ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(1,1)，C(1，1)，求直线AB，BC，AC的斜率解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等kAB0，kAC1.B，C两点的横坐标相等，直线BC的斜率不存在.直线的倾斜角、斜率的应用题点一：三点共线问题1如果A，B(4，1)，C(4，m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值解：由于A，B，C三点所在直线不可
7、能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.由斜率公式，得kAB，kBC.点A，B，C在同一条直线上，kABkBC.，即m23m120，解得m1，m2.m的值是或.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可 题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围2直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围解：如图所示kAP1，kBP，k(， 1，)，45120.(1)由倾斜角(或范围)求斜率
8、(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解层级一学业水平达标1直线x1的倾斜角和斜率分别是()A45，1 B135，1C90，不存在 D180，不存在解析：选C作出图象，故C正确2给出下列说法：若是直线l的倾斜角，则0180；若k是直线的斜率，则kR；任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中说法正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C显然正确，错误3已知直线经过点A(2,0)，B(5,3)，则该直线的倾斜角为()A150 B135C75 D45
9、解析：选B直线经过点A(2,0)，B(5,3)，其斜率k1.设其倾斜角为(0180)，则tan 1，135.4过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y()A B.C1 D1解析：选Ctan 45kAB，即1，所以y1.5已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A(1,0 B0,1C1,2 D0,2解析：选D由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0k2.故选D.6.如图，已知直线l1的倾斜角是150，l2l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分BAC，则l3的倾斜角为_解析：因为
10、直线l1的倾斜角为150，所以BCA30，所以l3的倾斜角为(9030)30.答案：307一束光线射到x轴上并经x轴反射已知入射光线的倾斜角130，则反射光线的倾斜角2_.解析：作出入射光线和反射光线如图因为入射光线的倾斜角130，所以入射角等于60.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为606030150.答案：1508已知点A(2，1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45，则点P的坐标为_解析：设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0，n)由kPA1，得1，得m3，n3.故点P的坐标为(3,0)或(0，3)答案：(3,0)或(0，3)9已知A(m，m3)，B(2，m
11、1)，C(1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值解：由题意直线AC的斜率存在，即m1.kAC，kBC.3.整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4或m1(舍去)m4.10已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(2，1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解：直线l与线段AB有公共点，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间当l的倾斜角小于90时，kkPB；当l的倾斜角大于90时，kkPA.kPA1，kPB3，直线l的斜率k的取值范围是(，13，)层级二应试能力达标1在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为()A2 B0C. D2解析：选B由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.故选B.2已知经过点P(3，m)和点Q(m，2)的直线的斜率等于2，则m的值为()A1 B1C2 D.解析：选D由直线的斜率公式，得2，m.3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k
