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1、主要内容,切线长,相交弦定理,切割线定理,切线判定,直线与圆的位置关系,圆的定义、确定,圆的有关概念,垂径定理及其推论,弧的度数、圆心角圆周角、弦切角,点与圆的位置关系,三点确定一个圆,角、弧、弦、距定理,圆周角定理及其三大推论,圆的内接四边形定理,主要模块,两大作图,弦、半径、线段的计算,线段的积相等的证明,两种位置关系,角的有关计算,确定圆的方法:,A,B,O,1、确定圆心和半径 2、不在同一直线上的三个点,C,1、圆的定义： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.,P,C,P,O,性质1：（圆半径的不变性）得出： 点与圆的位置关系,(1)点P在O上 (2)点P在O内 (3)点P在O外,OP
2、=r OPr,直线与圆的位置关系,返回,3、经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆:,作法: (1)作线段AB、AC的垂直平分线MN和PQ，相交于点O (2)以O为圆心,以OA为半径画圆则O就是所求作的圆.,B,A,C,O,M,N,P,Q,三角形的外接圆 圆的内接三角形 三角形的外心,垂径定理及推论,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,分解成5点,经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分优弧,平分劣弧,推论1：满足2个得到3个,推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等,圆心角、圆心角所对的弦、弧及弦心距之间的关系,A,B,定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，
3、所对的弦的弦心距相等,推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧，两条弦两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等,圆心角 = 弧的度数 =圆周角 =弦切角,A,B,C,1,O,圆周角： 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角.,A,C,B,O,圆周角定理： 圆周角= 圆心角= 弧的度数,推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.,A,C1,B,C2,C3,推论2： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径.,A,C1,B,C2,C3,O,推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,
4、A,B,C,O,定理:圆的内接四边形的对角互补,并且 任何一个外角都等于它的内对角,1+D=180,2=D,1、直线和圆的三种位置关系：,P,l,(1)直线 l 和O相交 (2)直线 l 和O相切 (3)直线 l 和O相离,OP=r OPr,l,l,P,P,返回,1、切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,l,A,OA是半径，lOA 直线 l 是O的半径,3、切线的性质定理推论:,l,A,垂直于切线的直线： (1)过圆心必过切点 (2)过切点必过圆心,已知条件为： 切线和垂直于切线的直线,1.2、切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点
5、的连线平分两条切线的夹角,即：,A,P,B,1,2,PA = PB 1=2,2.2、弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角,A,B,P,1,Q,即：1=P,2.3、弦切角定理推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等,3.1、相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等,O,A,P,C,B,D,3.2、相交弦定理推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项,O,A,P,C,PC2 = PAPB,B,D,4.1、切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,O,A,P,T,B,4
6、.2、切割线定理推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,O,A,P,T,PAPB =PCPD,B,即：,C,D,切线长,相交弦定理及推论,切割线定理及推论,垂径定理及其推论,弧的度数、圆心角圆周角定理推论2,弦、半径、线段的计算,勾股定理,练习,勾股定理：,A,B,C,c,a,b,a2 + b2 = c2,垂径定理及推论,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分优弧,平分劣弧,推论1：满足2个得到3个,推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等,圆心角的度数 = 弧的度数,n,B,A,n,推论2： 半圆(或直径)所对的
7、圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径.,A,B,C,O,半圆的度数是180,B,A,180,360,整个圆的度数是360,圆的度数是120,圆的度数是90,切线长定理：,即：,A,P,B,1,2,PA = PB 1=2,相交弦定理：,O,A,P,C,B,D,PAPB = PCPD,相交弦定理推论：,O,A,P,C,PC2 = PAPB,B,D,切割线定理：,O,A,P,T,PT2 =PBPA,B,C,D,切割线定理推论：,O,A,P,T,PAPB =PCPD,B,C,D,例1：如图,在O中,弦AB所对的劣弧为圆的 ,圆的半径为2cm,求AB的长.,A,B,O,C,例2：如图,在O中,弦A
8、B把圆分为度数比为1：5的两条弧，如果圆的半径为5，求弦心距和弦的长.,A,B,O,C,如图：AC=12cm,BC=5cm,求：CD、BD,O,A,D,C,B,如图：O是RtABC的内切圆，且AB=6，AC=8，BC=10。求O的半径。,B,A,C,O,D,E,F,圆外切四边形的周长为48，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长。,如图,AP=4CM,PB=5CM,CP=2CM.求CD,A,B,C,D,P,如图,O是圆心,CPAB,AP=4CM,PD=2CM,求OP,A,B,C,D,P,O,如图,AB是O的弦，P是AB上一点，AB=11cm，PA=7cm， O的半径=8cm。求：OP,
9、A,B,C,D,P,O,如图,O的割线PAB交O于点A和B，PB=6cm,AB=8cm,PO=10cm。求O的半径,A,B,C,D,P,O,如图,PA为O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10cm,PB=5cm.求:O的半径.,A,B,C,P,O,弦切角、圆周角与弧的度数关系,三角形的内心、外心所成的角与顶角的关系,四边形的内角和、圆的内接四边角,角的计算,三角形的内角和、三角形的外角,练习,三角形的角的关系1：,A,B,C,1,2,A+B+1 = 180,2 = A+B,2+1 = 180,直角三角形的角的关系：,A,B,C,A+B+C = 180,A+B = 90,四边形的内角
10、的关系1：,A,B,C,1,2,A+B+1+D= 360,2+1 = 180,D,圆的内接四边形：,1+D=180,2=D,C = 1= O = 弧的度数,A,B,C,1,O,圆的有关角与弧度数关系：,三角形的内心与顶角关系：,B,A,C,O,D,E,F,1,2,O = 180-(1+2),A = 180-2(1+2),A = 90- (1+2),O- A = 90,O =90+ A,三角形的外心：,A,B,C,O,A,B,C,A = O,O = 360- 2A,O,三角形的内切圆,两大作图：,三角形外接圆周,作法: (1)作线段AB、BC的垂直平分线PQ和MN，相交于点O (2)连结OA(3
11、)以O为圆心,以OA为半径画圆 则O就是所求作的圆.,B,A,C,O,M,N,P,Q,求作与ABC三边都相切的圆,作法: (1)作B、C的平分线BM和CN，交于点O (2)过点O作ODBC于点D (3)以O为圆心,以OD为半径画圆 则O就是所求作的圆.,B,A,C,O,M,N,D,相似三角形的性质,1、等角所对的边是对应边 2、对应对应边成比例,如图：AD是ABC的高,AE是ABC的接 圆直径 求证：ABAC=AEAD,E,O,B,D,如图：ABC中,BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E. 求证：ADAE=ACAB,B,D,E,如图：圆内接ABC中,AB=AC,经过点A的弦与BC和
12、圆分别相交于点D和E 求证：ADBE=ABBD,B,D,E,如图，O是RtABC的内切圆，斜边AB与圆相切于D，与AC相切于F，AO延长交BC于E 求证：ADAE=AOAC,F,A,D,C,B,E,1、数量关系： （外离）,d R + r,外离,返回,1、数量关系： （外切）,d = R + r,外切,返回,1、数量关系： （相交）,R r d R + r,相交,(R r),返回,1、数量关系： （内切）,d = R r (R r),内切,返回,1、数量关系： （内含）,d r),内含,返回,圆与圆的位置关系,圆与圆的5种位置关系：,外离,外切,相交,内切,内含（同心圆）,d R + r,d
13、= R + r,R r d R + r,d = R r,d r),如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上,结论:,O2,O1,相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦,A,B,定理:,O2,O1,2、两圆的外公切线,O1,两个圆在公切线的同旁,3、两圆的内公切线,O1,两个圆在公切线的两旁,4、两圆的内公切线数与位置关系,外离,外切,相交,内含,内切,5、公切线长,O1,公切线上两个切点的距离,这两条公切线长是不相等的,O1,已知：O1、O2的半径分别为2cm和7cm,圆心距O1O2=13cm,AB是O1、O2的外公切线,切点分别是A、B.求：公切线AB的长,A,B,C,例1,已知：O1、O2的半
14、径分别为4cm和2cm,圆心距O1O2=10cm,AB是O1、O2的内公切线,切点分别是A、B.求：公切线AB的长,O2,C,B,A,例2,两圆半径分别是4cm和2cm,一条外公切线长为4cm .求它们的圆心距.,O2,O1,C,E,F,10,已知：O1、O2的半径分别为22cm和32cm,求：内公切线AB的长及AB与连心线的夹角,O2,C,B,A,13,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D.求：ACBD,T,B,C,练习,a,A,D,1,2,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D.求
15、：ACBD,T,B,C,练习,a,A,D,1,2,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D.ATC=40,CAT=70求：D,T,B,C,14,a,A,D,40,70,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D.求证：TA：TC=TB：TD,T,B,C,15,a,A,D,1,2,已知：O1和O2相交于A、B,且两圆的半径都等于公共弦长AB，AB=a.求: (1)AO1B (2) O1O2,A,O2,O1,B,8,圆弧连接（简称：连接） 由一条线平滑地过渡到另一条线上,圆弧连接分为：外连接、内连接 外切时叫外连接 内切时
