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1、高中数学第一章三角函数1.7正切函数例题与探究（含解析）北师大版必修41.7 正切函数典题精讲1.如何快速作出正切函数的图像？剖析：我们知道五点法可以快速画出正、余弦函数的图像的草图.正切函数的图像不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图像.其突破方法是从正切函数的图像和性质上来分析，找出画草图的方法.由于正切函数的定义域为x|x+k,kZ，所以函数的图像被垂直于x轴的直线x=k+ (kZ)所隔开，但两端连续的无限接近这些平行线，所以直线x=k+(kZ)称为正切函数的渐近线.画正切函数的图像时，也是先画一个周期的图像即函数y=tanx,x(-,)的图像，再把这一图像向左、右平移（每次平移个单位长
2、度），从而得到正切函数的图像.函数y=tanx,x(-,)的作图，通过图像的特点将发现,函数的图像过(-,-1),( ,1),(0,0)三点，以直线x=为渐近线，这样根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图像的草图.2.为什么正切函数的最小正周期是？剖析：疑点是正切函数是周期函数，是否还有比更小的正周期.其突破方法是利用反证法，结合周期函数的定义来理解、分析.tan(x+)=tanx，正切函数是周期函数，是一个周期.假设存在一个非零常数T，且0T,使对任意x(k-,k+）(kZ)，总有tan(x+T)=tanx成立.不妨令x=0，则tanT=tan0=0，则T=k(kN*).T=k，这与假设0
3、T矛盾.假设不成立,即正切函数的最小正周期是.典题精讲例1(2005湖南高考卷，文2)tan600的值是（ ）A. B. C.- D.思路解析：运用诱导公式化为锐角求值.tan600=tan(1803+60)tan60=.答案：D变式训练1tan()=_.思路解析：tan()=-tan=-tan(7+)=-tan-.答案：-变式训练2比较tan(）与tan()的大小.思路分析：同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.解：tan()=-tan,tan()=-tan,又0,y=tanx在(0, ）内单调递
4、增，tantan.-tan-tan，即tan()tan().例2（经典回放）若sincos0，则在（ ）A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限思路解析：利用sin和cos的符号确定所在的象限.方法一：sincos0，sin0，cos0或sin0，cos0.当sin0且cos0时，在第一象限；当sin0且cos0时，在第三象限.综上可得在第一、三象限.方法二：sincos00tan0，则在第一、三象限.答案：B绿色通道：已知同角的某两个三角函数积或商的符号，可通过分类讨论来确定判断此角所在的象限；还可以把已知两个三角函数积或商的符号化归为此角的另一个三角函数值的符号
5、后，再判断此角所在的象限.变式训练1若sintan0，则在（ ）A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、三象限思路解析：方法一：sincos0，sin0，tan0或sin0，tan0.当sin0，tan0时，在第二象限；当sin0，tan0时，在第三象限.综上，可得在第二、三象限.方法二：sintan00cos0，在第二、三象限.答案：D变式训练2已知点P（tan，cos）在第三象限，则|tan|等于（ ）A.tan B.-tan C.tan D.思路解析：由于点P在第三象限，则tan0,cos0，所以的终边在第二象限，则在第一、三象限，则tan0，则有|tan|=tan
6、.答案：A例3求函数y=tan(3x-）的定义域、值域，并指出它的单调性.思路分析：利用整体原则，把3x-看作一个整体.解：令3x-k+ (kZ)，得x+，函数的定义域为x|xR且x+,kZ,值域为R.由y=tanx，x(k-,k+）(kZ)是增函数，令k-2x-k+(kZ)，即-x+(kZ).函数的单调递增区间为(-,+)(kZ).绿色通道：函数y=Atan(x+)（其中，A0,0）的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是（1）把“x+(0)”看为一个“整体”；（2）A0(A0)时，y=tanx(x+k)的单调区间对应的不等式相同（反）.变式训练1(2006全国高考卷，理5
7、)函数f(x)=tan(x+)的单调增区间为（ ）A.(k-,k+),kZ B.(k,(k+1),kZC.(k-,k+),kZ D.(k-,k+),kZ思路解析：利用整体策略，令k-x+k+ (kZ)，得k-xk+.答案：C变式训练2(2005全国高考卷，理4)已知函数y=tanx在（-，）内是减函数，则（ ）A.01 B.-10 C.1 D.-1思路解析：若使函数y=tanx在（-，）内是减函数，则有0，并且周期T=-（-）=.则-10.答案：B问题探究问题正切函数的图像关于原点、(、0)、（,0）成中心对称图形.结合正切函数的图像，你发现正切函数的图像还有其他对称中心吗？导思：结合正切函数
8、的图像，先进行归纳、猜想，再利用对称的定义加以证明你的猜想.探究：由于正切函数是奇函数，则其图像关于原点对称.设点P(x0,y0)是正弦函数y=tanx图像上任意一点，则y0=tanx0.那么点P(x0,y0)关于点(,0)的对称点M(-x0,-y0)，tan(-x0)=-tanx0，tan(-x0)=-y0，即点M(-x0,-y0)也在正切函数y=tanx图像上.点P(x0,y0)是正弦函数y=tanx图像上任意一点，正切函数的图像关于(,0)成中心对称图形.同理，可证正切函数的图像关于(-,0)、(,0)成中心对称图形.如图1-6-5所示，观察正切函数的图像.图1-6-5归纳：原点、（,0)、(,0)的坐标都可写成(0,0)、(1,0)、(2,0)的形式，可猜想(,0)(k)都是正切函数图像的对称中心.证明：设点P(x0,y0)是正切函数y=tanx图像上任意一点，则y0=tanx0.那么点P(x0,y0)关于点(,0)的对称点M(k-x0,-y0)，tan(k-x0)=-tanx0,tan(k-x0)=-y0，即点M(k-x0,-y0)也在正切函数y=tanx图像上.点P(x0,y0)是正切函数y=tanx图像上任意一点，正切函数的图像关于(,0)(kZ)成中心对称图形.也可看出：正切函数图像的任意相邻的两个对称中心正好相差半个周期.4 / 4
