《高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义学案北师大版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义学案北师大版选修1-1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.21实际问题中导数的意义课标解读 1. 利用实际问题加强对导数概念的理解.2. 能利用导数求解有关实际问题实际问题中导数的意义【问题导思】问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为WW(t)t34t210t.(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意思什么？(3)W(1)的实际意义是什么？【提示】(1)11(J/s)(2)它表示从t1 s到t4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.(3)W(t)3t28t10.W(1)5表示在t1 s时每秒做功5 J. 1. 在物理学中，通常称力在单位时间内做
2、的功为功率，它的单位是瓦特，功率是功关于时间的导数 2. 在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度它是反映一次降雨大小的重要指标降雨强度是降雨量关于时间的导数 3. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的函数的导数称为边际成本导数在物理学中的意义某质点的运动方程为ss(t)2t23t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求当s(1)，s(2)，并解释它们的实际意义【思路探究】(1)套用公式即可求出平均变化率，即该质点在该段时间内的平均速度；(2)求出导数s(t)，它表示t时刻该质点的瞬时速
3、度【自主解答】(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为11(m/s)它表示从t1 s到t3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s(t)4t3，则s(1)437(m/s)，s(2)42311(m/s)s(1)表示的是该质点在t1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s(2)表示的是该质点在t2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的
4、导数为电流强度等因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，yf(x).(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？(2)求f(27)，并解释它的实际意义【解】(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为(m3/min)，它表示时间从1 min增加到8 min的过程中，每增加1 min水流量平均增加 m3.(2)f(x)x，于是f(27)27(m3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为 m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.导数
5、在经济生活中的意义某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)x260x2 050.求(1)当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义；(2)当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义【思路探究】(1)利用函数平均变化率计算，然后结合实际问题解释(2)用瞬时变化率的意义解释【自主解答】(1)当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)2 675元变到C(20)3 350元此时总成本的平均改变量为67.5(元/件)，其表示产量从x10件提高到x20件时平均每件产品的总成本的改变量(2)C(x
6、)x60，C(75)756097.5(元/件)，它指的是当产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元生产成本y关于产量x的函数yf(x)中，f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f(x0)个单位的成本建造一幢长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为yf(x)(x2x3)(x0)(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为_；(2)f(100)_，其实际意义为_【解析】(1)f(100)1 010.3，f(200)4 020.3，30.1(万元/m)，即平均变化率为30.1万元/m.(2)f(x)(2x1)，f(10
7、0)20.1(万元/m)，即当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元【答案】(1)30.1万元(2)20.1万元/m当长度为100 m时，每增加1 m的长度成本就增加20.1万元导数在日常生活中的意义日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用也不断增加已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x100)(1)求c(x)；(2)求c(90)，c(98)，并解释它们的实际意义【思路探究】(1)利用导数的求导法则求出c(x)；(2)分别将x90，98代入，即可求出c(90)，c(98)，又c(x)是净化费用的瞬时变化率，从而
8、可知c(90)，c(98)的实际意义【自主解答】(1)c(x)().(2)c(90)52.84(元/吨)，c(98)1 321(元/吨)因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨同样，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1 321元/吨函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，c(98)25c(90)，它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快一杯80 的热红茶置于20 的房间里，它的温度会
9、逐渐下降，温度T(单位：)与时间(单位：min)之间的关系由函数Tf(t)给出请问：(1)f(t)的符号是什么？为什么？(2)f(3)4的实际意义是什么？【解】(1)由题意可知f(t)0，因为红茶温度在下降(2)f(3)4的实际意义是：t3 min时，温度的瞬时变化率，即3 min附近时，红茶约以4 /min的速度下降忽略实际意义致误在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)4.9t26.5t10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t1 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况【错解】h(t)9.8t6.5，h(1)9.86.53.3.运动员在t1 s时的瞬时速度是3.3 m/s
10、.此时的运动状况是以每秒3.3米的速率运动【错因分析】瞬时速度既有大小也有方向，这里应是负值，不能回答为正值，且运动状况是指运动速度的大小和方向【防范措施】在处理实际问题时一定要注意导数的实际意义【正解】h(t)9.8t6.5，h(1)3.3.故运动员在t1 s时的瞬时速度是3.3 m/s，此时运动员向下以3.3米/秒的速率运动,问题解决,数学解答 2 .解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进
11、行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案 1 .一物体运动的路程s与时间t之间的关系为st，则()A物体做匀速运动B物体做匀加速运动C物体做匀减速运动D物体处于静止状态【解析】s1，物体做匀速运动【答案】A 2 .如果物体做直线运动的方程为s(t)3(2t)2，则其在t3 s时的瞬时速度为()A6B6C4 D4【解析】s(t)3t212t12，s(t)126t.s(3)12636.【答案】A 3 .某物体的运动速度与时间的关系为v(t)2t21，则t2时的加速度为_【解析】v(t)4t，v(2)8.【答案】8 4 .某厂生产x吨产品获利y万元，y是x的函数，设函数为yf(x)x2
12、21x100.(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求f(84)并解释它的实际意义【解】(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元(2)f(x)x21，于是f(84)0，f(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，利润增加为0，即利润不变一、选择题 1 .一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用yf(t)表示，则f(10)表示()At10时的降雨强度Bt10时的降雨量Ct10时的时间 Dt10时的温度
13、【解析】f(t)表示t时刻的降雨强度【答案】A 2 .圆的面积S是半径r的函数S(r)r2，那么在r3时，面积的变化率是()A6 B9C9 D6【解析】面积S在r3时的变化率为S(3)236.【答案】D 3 .设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为vv(t)t33t，则tt0 s时轿车的加速度为()At3t0 B3t3C3t3t0 Dt3【解析】v(t)3t23，则当tt0 s时的速度变化率为v(t0)3t3(m/s2)则tt0 s时轿车的加速度为(3t3)m/s2.【答案】B 4 .某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数WW(t)，则W(t0)表示()Att0时做的功 Btt0时的速度Ctt0时的位移 Dtt0时的功率【解析】因为功率是功关于时间的导数，故选D.【答案】D 5 .从时刻t0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q2t23t表示，则第5 s时电流强度为()A27 C/s B20 C/sC25 C/s D23 C/s【解析】某导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度q4t3，当t5时，电流强度为45323(C/s)【答案】D二、填空题 6 .某物体的位移是时间的
