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1、高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值利用导数求最值素材北师大版选修1-1利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础,是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具,研究导数,有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支,在函数的研究中得到充分的体现,主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述,供参考。一、函数的最大值与最小值在闭区间上连续,在()内可导,在上求最大值与最小值的步骤:先求 在()内的极值;再将的各极值与、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。求可导函数极值的步骤:首先:求导数;再求导数=
2、0的根;最后:检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取极大值;如果左负右正,那么在这个根处取极小值。二、利用导数求最值例1、设,求的最小值。解:设,则令,由,解得。列表:(0,1)10最小值由表可知,当时,有最小值1。评注:利用导数求最值,先确定函数的极值是关键,同时,最值通常应在极值及端点处取得。当函数f(x)为连续函数且在上单调时,其最大值、最小值在端点处取得;当连续函数f(x)在(a,b)内只有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以判定f(x)在该点处取得最大(小)值,这里(a,b)也可以是无穷区间。练习1:已知a 0,函数f(x)(x22ax)ex,
3、当x为何值时,f(x)取得最小值?并证明你的结论;三、利用导数求最值的运用(一)求函数的值域例2 、求函数的值域解:由得的定义域为。因为,所以在上单调递增,故当时,时,。所以值域为。评注:求函数的值域转化为求在闭区间上的最大值和最小值的问题,考虑其单调性易求值域,必须注意函数的定义域。练习2:已知x,y为正实数,且满足关系式,求xy的最大值。(二)利用最值求参数的值(或范围)例3、设,函数的最大值为1,最小值为,求a,b的值。解:,当x变化时,变化情况列表如下:x1(1,0)0(0,a)a(a,1)1+00+b当x=0时,f(x)取极大值b,而,故需比较f(0)与f(1)的大小。,f(x)最大
4、值为f(0)=b=1。又。,。评注:这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小,列表解题一目了然,从而确定出a,b的值。(三)利用最值研究恒成立问题例4、设函数若对于任意都有成立,求实数的取值范围。解: 令得或。当或时,在和上为增函数,在上为减函数,在处有极大值,在处有极小值。极大值为, 而, 在上的最大值为7。若对于任意x都有成立, 得m的范围 。评注:利用最值可以研究一类恒成立问题,一般地,f(x)a对xR恒成立 f(x)的最小值a成立;f(x)a对xR恒成立f(x)的最大值a成立。练习2:已知函数在与x1时都取得极值。求a、b的值;若对恒成立,求c的取
5、值范围。四、利用最值证明不等式例5、已知是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2。(1)求 f(x)的单调区间和极大值;(2)对任意,求证:不等式恒成立。解:(1)f(x)是奇函数, f(0)=0, d=0因此由条件f(1)=-2为f(x)的极值,f,(1)=0,解之得:a=1,c=-3则, 令,得f(x)的单调减区间是-1,1,f(x)的单调增区间是当x=-1时,f(x)有极大值2。(2)证明:由(1)知f(x)在-1,1上是减函数,且f(x)在-1,1上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2对任意, 恒有评注:本题(2)借助于最值证明不等式,最值的研究利用了导数法,同时对于
6、可导函数,某点为极值点的必要条件是这点的导数为0;某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外,函数的极值点也可能是不可导点。附练习答案:1、解:(1)对函数f(x)求导数,得f(x)(x22ax)ex+(2x2a)exx2+2(1-a)x-2aex。令f(x)0,得x2+2(1-a)x-2aex0,从而x2+2(1a)x2a0。解得 ,其中x1x2。当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表:x( ,x1 )x1( x1 , x2)x2(x2 ,+)f (x)+00+f (x)极大值极小值当f(x)在xx1处取到极大值,在xx2处取到极小值.当a0时,x11,x2 0,f(x)在(x1,x2)为减函数,在(x2,+)为增函数.而当x0时,f(x)x(x2a)ex0;当x0时,f(x)0.所以当时,f(x)取得最小值。2、解:由题意,设f(x)。当时,令,得或x=0(舍去)。当x在内变化时,y/,y有如下变化情况:x2y/+0y极大值0由上表可知,当x=时,f(x)最大值为,亦即xy的最大值为。3、解:;令,故对任意恒成立。,列表知对任意,y的最大值为g(2)2,2c2c,得c1或c2。5 / 5