《《复变函数与积分变换》(西安交大第四版)课后答案(共96页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《复变函数与积分变换》(西安交大第四版)课后答案(共96页)（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题一解答 1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1） i 23 1 + ； （2） i1 3i i 1 ； （3）( )() 2i 5i24i3+ ； （4） i4ii 218 + 解 （1） ()() ()2i3 13 1 2i32i3 2i3 2i3 1 = + = + 所以 13 3 = +i23 1 Re， 13 2 2i3 1 Im= + , ()2i3 13 1 2i3 1 += + ， 13 13 13 3 13 3 2i3 1 22 = + = + ， k2 i23 1 arg i23 1 Arg+ + = + ?, 2, 1, 0,2 3 2 arctan=+=
2、kk （2） () () () ()i, 2 5 2 3 3i3 2 1 i i)(1i1 i13i ii i i1 3i i 1 =+= + + = 所以 , 2 3 i1 3i i 1 Re= 2 5 i1 3i i 1 Im= 2 5 i 2 3 i1 3i i 1 += ， 2 34 2 5 2 3 i1 3i i 1 22 = + = ， k2 i1 i3 i 1 arg i1 i3 i 1 Arg+ = ?,=,+=2102 3 5 arctankk. （3） ()()()()() ( )() ()() 4 2i7i26 2i2i 2i5i24i3 2i 5i24i3 = + =
3、+ 13i 2 7 2 26i7 = = 所以 ()() 2 7 2i 5i24i3 Re= + ， ()() 13 2i 5i24i3 Im= + ， 1 课后答案网 ()() l3i 2 7 2i 5i24i3 += + ()() 2 295 2i 5i24i3 = + ， ()()()() kk2 7 26 arctan22 i2 i52i43 arg i2 i52i43 Arg+=+ + = + ()?, 2, 1, 0,12 7 26 arctan=+=kk. （4）( )( )()()ii141iii4ii4ii 104 10 2 4 2218 +=+=+ 3i1i4i1=+= 所
4、以 3i4iiIm1,i4iiRe 218218 =+=+ 3i1i4ii 218 += +，10| i4ii | 218 =+ ()()()2k3i1arg2ki4iiargi4iiArg 218218 +=+=+ =.2,1,0,k2karctan3?=+ 2如果等式 () i1 3i5 3yi1x += + + 成立，试求实数 x, y 为何值。 解：由于 ()()() ()()3i53i5 3i53yi1x 3i5 3yi1x + + = + + ()()()() 34 3y51x3i3y31x5+ = ()i1185y3xi43y5x 34 1 +=+= 比较等式两端的实、虚部，得
5、=+ =+ 341853 34435 yx yx 或 =+ =+ 5253 3835 yx yx 解得11, 1=yx。 3证明虚单位i有这样的性质：-i=i-1=i。 4证明 2 1)| 11 6)Re( )(),Im( )() 22i zzz zzzzz = z=+= ? 2 课后答案网 证明：可设izxy=+，然后代入逐项验证。 5对任何，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：设，则要使成立有 izxy=+ 2 |zz= 222 2ixyxyx+=+ y0，即。由此可得为实数。 2222, xyxyxy=+=z 6当时，求的最大
6、值，其中 n 为正整数，a 为复数。 1|z|azn+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且当 n a ez arg i =时，有 ()|a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ =+|11 argiargi arg i 故为所求。 |1a+ 8将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i； （2）-1； （3）1+3i； （4）()0isincos1+； （5） i1 2i + ； （6）( ) ()3 2 isin3cos3 isin5cos5 + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2） i eisincos1=+= （3） 3 i
7、 2e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1= += +=+； （4） 2 1 cosisin2sini2sincos2sinsinicos 222222 +=+=+ )(0,e 2 2sin 2 isin 2 cos 2 2sin 2 i = + = ； （5）() = + 2 1 i 2 1 2i1i12i 2 1 i1 2i = 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 （6） () () () () 2 23 i5i3i10i9i19 3 cos5isin5 e/ ee/ee cos3isin3 + = = 3 课后答案网 isin19cos19+= 9将下列坐
8、标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式： 11 11 , ; xxa yyb =+ =+ 2）旋转公式： 11 11 cossin, sincos . xxy yxy = =+ 解：设 11 iAab=+， 11 izxy1=+，izxy=+，则有 1）；2） 1 zzA=+ i 11 (cosisin)ezzz =+=。 10一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 解： 设复数， 则 z ezz Argi | =() =| = 2 Argi 2 i Argi z z |z|eeeziz， 可知复数的模不变， 辐角减少 2 。 11证明：，并说明其几何意义。 222 121212 |2(|
9、zzzzzz+=+ 2 | ) 证明： 22 121212121212 1122 22 12 |()()()( 2() 2(| ) zzzzzzzzzzzz z zz z zz +=+ =+ =+ ) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12证明下列各题： 1）任何有理分式函数 ( ) ( ) ( ) P z R z Q z =可以化为iXY+的形式，其中X与Y为具 有实系数的x与的有理分式函数； y 2）如果( )R z为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么( )iR zXY=； 3）如果复数iab+是实系数方程 1 011 0 nn nn a za zaz
10、a +=? 的根，那么也是它的根。 iab 证 1） ( )( ) ( )Re( ( ) ( )Im( ( ) ( ) ( ) ( )( , )( , )( ) ( ) P zP z Q zP z Q zP z Q z R z Q zq x yq x yQ z Q z =+; 2） ( )( )( ) ( )ii ( )( )( ) P zP zP z R zX Q zQ zQ z YXY=+= ; 3）事实上 ( ) 1 011 nn nn P za za zaza =+? 4 课后答案网 ( )zPzazazaa n n =+=? 2 210 13如果，试证明 it ez = （1）nt
11、z z n n cos2 1 =+； （2）nt z z n n sini2 1 = 解 （1）nteeee z z n n sin2 1 intintintint =+=+=+ （2）nteeee z z n n sini2 1 intintintint = 14求下列各式的值 （1）( 5 i3 )； （2）()6i1+； （3） 6 1； （4）() 3 1 i1 解 （1）()() 6/5i 5 6/i 5 5 322 2 i 2 3 2i3 = =ee 55 32 cosisin16 316i 66 =+= （2）() () 6 6 6 i /43 i/2 1i 1 i22e8e8i
12、 22 +=+= 。 （3） () () 1 i 21 /6i+2 6 6 1ee,0,1,2,3,4,5 kk k + =。可知 6 1的 6 个值分别是 , 2 i 2 3 e /6i += ie /2i = ， 2 i 2 3 ei /65i += 2 i 2 3 e /6i7 = ，i 23i = / e 2 i 2 3 411i = / e。 （4）()()0,1,2=,= 2 2 1 2=1 3 + 3 1 / 3 1 3 1 kee k 2 4 i 64i 22 i i。 可知的 3 个值分别是 () 1/3 1 i , 12 7 sini 12 7 cos22 , 12 sini 12 cos22 612/7i6 62/i6 += = e e += 4 5 sini 4 5 cos22 64/5i6 e。 15若(1 i)(1 i) nn +=，试求n的值。 5 课后答案网 解 由题意即 i/4i/4i/4i/4 ( 2e)( 2e) ,ee nnnn =，sin， 0 4 n = 故4 ,0, 1, 2,nk k= ?。 16 （1）求方程的所有根 08 3 =+z （2）求微分方程08 =+ yy的一般解。 解 （1）() () 1 i1 2 3 3 82 k ze + = =，k=0,1,2
