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1、椭圆标准方程的求法举例 一、定义法 例 1已知圆 22 :(1)8Cxy，点(10)A ，是圆内一点，AM的垂直平分线l交CM 于点N，当点M在圆C上运动时，求点N的轨迹方程。 解：连结AN，由NMNA，得2 2NCNANCNMCM， 而2CA，因此，点N的轨迹是以点CA，为焦点的椭圆， 设为 22 22 1(0) xy ab ab ，22 2a，22c， 所以2a，1c， 222 1bac。因此，所求轨迹方程为 2 2 1 2 x y。 评注： 用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标 轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a、b、c 二、待定系数法
2、 例 2已知椭圆的焦距离为2 6 且过点 (32)，求焦点在x 轴上时，它的标准方程 解析：焦点在x轴上，设所求方程为 22 22 1 xy ab (0)ab， 由题意得 22 22 32 1 ab ab ， ， 解之得 2 2 9 3. a b ， 因此，所求方程为 22 1 93 xy 评注： 用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后 根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程 三、轨迹法 例 3点()P xy，到定点(01)A ，的距离与定直线14y的距离之比为 14 14 ，求动点 P 的轨迹方程 解析：设d为动点()P xy，到定直线14y的距离，根
3、据题意动点P的轨迹就是集合 14 () 14 PA MP xy d ，|，由此得 22 (1)14 1414 xy y 将上式两边平方，并化简得 22 14131413xy，即 22 1 1314 xy 为所求 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入， 再对含 xy， 的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤 四、奇思妙解法 例 4已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 (0 2)3 2 AB ，求 该椭圆的标准方程 分析：根据题设条件，并不知道焦点所在的坐标轴，若分两种情况设出椭圆方程，则解 答繁琐，而且还要舍去不符合题意的但若设为 2
4、2 1mxny，则包含了焦点在x 轴上和 焦点在 y 轴上的两种情况，是一个很好的选择 解：设所求的椭圆方程为 22 1(00)mxnymnmn， 椭圆经过两点(0 2)A，和 1 3 2 B ， 041 1 31 4 mn mn ， 解得 1 1 4 m n ， 故所求椭圆的标准方程为 2 2 1 4 y x 例 5求经过点(32)，且与椭圆 22 1 94 xy 有相同焦点的椭圆方程 分析：椭圆 22 1 94 xy 的焦点为(5 0)，若设所求方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 则比较麻烦 但若设为与椭圆 22 1 94 xy 共焦点的椭圆系方程 22 1(4) 94 xy 就 简单得多 解：设所求椭圆方程为 22 1(4) 94 xy 椭圆过点(32)， 94 1 94 解得 12 66，（舍去） 故所求椭圆的方程为 22 1 1510 xy 评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍上 述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。
