《排列与组合》课件

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1、组合应用题,1.2.2组合（二）,复习巩固：,3、组合数公式:,例8、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?,反思：“至少”“至多”的问题， 通常用分类法 或间接法求解。,练习,按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、

2、丙三人至少1人当选；,例6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：,（1）分成1本、2本、3本三组； （2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本， 一个人2本，一个人3本；,（一）等分组与分配问题,（3）分成每组都是2本的三个组；,（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本.,（5）分成4本、1本、1本三组； （6）分给甲、乙、丙三人，其中一个 人1本，一个人1本，一个人4本；,例6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （7）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本,解：可以分为三类情况：,“2、2、2型” 的分配情况，有 种方法；,“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法；,“1、1、4型”

3、，有 种方法，,所以，一共有90+360+90540种方法,点评：,本题是分组中的“平均分组”问题,一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有,种方法,(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,练习,注意： 对于排列组合的混合应用题， 一般解法是先选后排。,例 某车间有11名工人，期中有5名钳工，4名车工，另外2名既能当钳工又能当车工，现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？,（二）多面手问题,解:第一类:选派的4名钳工中无

4、“多面手”,此时有选派方法 种;,第二类:选派的4名钳工中有1名“多面手”,此时有选派方法,第三类:选派的4名钳工中有2名“多面手”,此时有选派方法,由分类加法计数原理，不同的选派方法共有：,某小组共有10人，期中有5人会英语，7人会俄语，其中有2人既会外语又会俄语，现要在这10人中选派4人，其中2人做英语翻译，2人做俄语翻译，有多少种选派方法？,练习,（三）元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插入隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一

5、种插板方法对应一种分法 共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,练习、 （1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？,分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有,（2

6、）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）可知共有 种分法,练习：将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的放法有多少种？,隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一个。,变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？,例1：从一楼到二楼共有17级台阶，上楼时可以一步走1级，也可以一步走两级，若要求11步走完楼梯，则有多少种不同的走法？,（四）、行走问题,练习：如图，从56方格中的顶点A到顶点B的最短路线有多少条？,课后练习：,1. 某施工小组有男工7人，女工3人，选出3人中有女工1人，男工2人的不

7、同选法有多少种？,3. 要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人，这10个名额有多少种分配方法?,2. 由10人组成的课外文娱小组，有4人只会跳舞，有4人只会唱歌，2人均能。若从中选出3个会跳舞和3个会唱歌的人的排演节目，共有多少种不同的选法？,（四）顺序固定问题,例（1）7人排成一列，甲必须在乙的右面（可以不相邻），有多少种不同的排法？,解：（1）解法一: 7人排队，2人顺序固定，共有,解法二：先从7个位置中选5个位置，排上其余5人，剩下2人直接插入。共有,（2）有5个节目的节目单中要插入2个新节目，保证原有节目顺序不变的排法有多少种？,解：（1）解法一: 相当于7个节目全排列

8、且要求5个顺序固定， 因而有,解法二：两个节目一个一个地插入，先插第一个，有6种插法，再插第二个节目，有7种插法。因此总共有,练习1马路上有编号为1，2，3，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？,解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为 种方法,练习2 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不

9、同的安排方案共有（ ） A24种 B36种 C48 D72种,B,练习3甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种,A,练习4某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.,216,15个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且 票必须分完，那么不同的分法种数是

10、,2某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中 有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法.,3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个.,4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这 两组平行线相交，可以构成 个平行四边形 .,5空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个， 第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行， 可构成 个平行六面体,98,30,课堂练习：,6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 不变，共有 种不同的调换方法,7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派

11、5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 数必须少于男生，有_种选派方法； （3）分成三组，每组3人，有_种不同分法.,36,45,280,课堂练习：,8.九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？,解：可以分为两类情况： 若取出6，则有 种方法； 若不取6，则有 种方法，,根据分类计数原理，一共有 + 602 种方法,课堂练习：,9. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现

12、在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_种.(结果用数值表示),7,【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2n400求解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法.,10. 某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是( ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)270,C,11. 某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位同学的考试成绩 f(i)86,87,88,89,90，且满足f(1)f(2)f(3)

13、f(4)，则四位同学的成绩可能情况有( ) (A)5种 (B)12种 (C)15种 (D)10种,C,B,12.表达式 可以作为下列哪一问题的答案 ( ) (A)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子放两个球的方法数 (B)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子空着的方法数 (C)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子放两个球的方法数 (D)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子空着的方法数,1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置； 3对于含“至多”

14、、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决； 4按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题.,课堂小结,5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将3个人分成3组，每组一个人，显然只有1种分法，而不是 种,一般地，将m、n个不同元素均匀分成n组，有 种分法；,例（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？两个空盒呢？,解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法；,（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个 “捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从 四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以， 一共有 144种方法,